Інтегральна показникова функція

Не плутати з іншими інтегралами експоненційних функцій.

У математиці експоненційний інтеграл Ei — це спеціальна функція на комплексній площині. Він визначається як певний визначений інтеграл від відношення експоненційної функції та її аргументу.

Означення

Ділянка функції ${\mathrm{E}}_1$ (згори) та функції $\mathrm{Ei}$ (знизу).

Для дійсних ненульових значень $x$ експоненційний інтеграл Ei($x$) визначається як

$\mathrm{Ei}(x)=-\underset{-x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{{\mathrm{e}}^t}{t}\mathrm{d}t$.

Алгоритм Ріша показує, що Ei не є елементарною функцією. Вищенаведене означення може бути використане для додатних значень $x$, але інтеграл слід розуміти у термінах головного значення за Коші через особливість підінтегральної функції в нулі.

Для комплексних значень аргументу означення стає неоднозначним через точки розгалуження у 0 та $\mathrm{\infty }$. Замість Ei використовується наступне позначення,

${\mathrm{E}}_1(z)=\underset{z}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{{\mathrm{e}}^t}{t}\mathrm{d}t,|\mathrm{Arg}(z)|<\pi$

(зауважимо, що для додатних значень $x$: $-{\mathrm{E}}_1(x)=\mathrm{Ei}(-x)$).

Загалом, розгалуження здійснюється по від'ємній дійсній осі, і ${\mathrm{E}}_1$ можна визначити за допомогою аналітичного продовження на комплексну площину.

Для додатних значень дійсної частини $z$ це можна записати як

${\mathrm{E}}_1(z)=\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{{\mathrm{e}}^{-tz}}{t}\mathrm{d}t=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{{\mathrm{e}}^{-z/u}}{u}\mathrm{d}u,\mathrm{Re}(z)⩾0.$

Поведінка ${\mathrm{E}}_1$ біля точки розгалуження визначається наступним співвідношенням:

$\underset{\delta \to 0+}{\lim }{\mathrm{E}}_1(-x\pm i\delta )=-\mathrm{Ei}(x)\mp i\pi ,x>0.$

Властивості

Декілька властивостей експоненційного інтегралу, що наведені нижче, у деяких випадках дозволяють уникнути його явного оцінювання через вищенаведене означення.

Збіжний ряд

Для дійсних або комплексних аргументів, які знаходяться поза від'ємною дійсною віссю, ${\mathrm{E}}_1(z)$ може бути виражений як

${\mathrm{E}}_1(z)=-\gamma -\ln z-\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(-z)}^k}{kk!},|\mathrm{Arg}(z)|<\pi ,$

де $\gamma$ — константа Ейлера–Маскероні. Ряд збігається для всіх комплексних $z$, і ми беремо звичайне значення комплексного логарифма, який має розгалуження вздовж від'ємної дійсної осі.

Ця формула може бути використана для обчислення ${\mathrm{E}}_1(x)$ в операціях з плаваючою комою для дійсного $x$ між $0$ та $2,5$. Для $x>2,5$ результат неточний через втрату значущості.

Ряд який збігається швидше знайшов Рамануджан:

$\mathrm{Ei}(x)=\gamma +\ln x+\exp \left(\frac{x}{2}\right)\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}{x}^n}{n!2^{n-1}}\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }\frac{1}{2k+1}.$

Даний збіжний ряд може використовуватися для отримання асимптотичних оцінок, наприклад,

$1-\frac{3x}{4}\le \mathrm{Ei}(x)-\gamma -\ln x\le 1-\frac{3x}{4}+\frac{11x^2}{36}$

для $x\ge 0$.

Асимптотичний (розбіжний) ряд

Відносна похибка асимптотичного наближення для різного числа $N$ доданків в усічений сумі ($N=1$ — червона лінія, $N=5$ — рожева лінія).

На жаль, збіжність рядів що наведені вище є повільною для великих за модулем аргументів. Наприклад, для $x=10$ потрібно більше 40 членів, щоб для ${\mathrm{E}}_1(z)$ отримати у відповіді перші три правильні цифри. Однак існує апроксимація розбіжним рядом, який можна отримати інтегруючи $z{e}^z{\mathrm{E}}_1(z)$ частинами:

${\mathrm{E}}_1(z)=\frac{\exp (-z)}{z}\sum _{n=0}^{N-1}\frac{n!}{(-z{)}^n}$

з похибкою порядку $O(N!z^{-N})$ і яка може використовуватися при великих значень $\mathrm{Re}(z)$. Відносна похибка такої апроксимації приблизно зображена на рисунку (для різних значень $N$ кількості доданків у сумі).

Експоненційна та логарифмічна поведінка: двобічна оцінка

Двобічна оцінка ${\mathrm{E}}_1$ елементарними функціями.

З двох рядів, які показані в попередніх підрозділах випливає, що ${\mathrm{E}}_1$ поводиться як від'ємна експонента для великих значень аргументу, і як логарифм — для малих значень. Для додатних дійсних значень аргументу ${\mathrm{E}}_1$ можна обмежити елементарними функціями наступним чином:

$\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{-x}\ln (1+\frac{2}{x})<{\mathrm{E}}_1(x)<{\mathrm{e}}^{-x}\ln (1+\frac{1}{x}),x>0.$

На рисунку ліва частина цієї нерівності зображена синім кольором, центральна частина ${\mathrm{E}}_1(x)$ позначена чорним кольором, а права частина нерівності — червоним.

Означення Ein

Функції $\mathrm{Ei}$ і ${\mathrm{E}}_1$ можна записати простіше, використовуючи цілу функцію $\mathrm{Ein}$, визначену як

$\mathrm{Ein}(z)=\underset{0}{\overset{z}{\int }}(1-{\mathrm{e}}^{-t})\frac{\mathrm{d}t}{t}=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k+1}{z}^k}{kk!}$

(зауважте, що це лише знакозмінний ряд у наведеному вище означенні ${\mathrm{E}}_1$). Тоді

${\mathrm{E}}_1(z)=-\gamma -\ln z+\mathrm{Ein}(z),|\mathrm{Arg}(z)|<\pi ,$

$\mathrm{Ei}(x)=\gamma +\ln x-\mathrm{Ein}(-x),x>0.$

Зв'язок з іншими функціями

Диференціальне рівняння Куммера

$z\frac{{\mathrm{d}}^{2}w}{\mathrm{d}{z}^2}+(b-z)\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}z}-aw=0$

як правило, розв'язується за допомогою Шаблон:Iw $M(a,b,z)$ та $U(a,b,z)$. Але при $a=0$ та $b=1$ рівняння набуває вигляду

$z\frac{{\mathrm{d}}^{2}w}{\mathrm{d}{z}^2}+(1-z)\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}z}=0,$

і для всіх $z$

$M(0,1,z)=U(0,1,z)=1$.

Другий розв'язок подається через ${\mathrm{E}}_1(-z)$. А саме,

${\mathrm{E}}_1(-z)=-\gamma -i\pi +\frac{\partial [U(a,1,z)-M(a,1,z)]}{\partial a}{|}_{a=0},0<\mathrm{Arg}(z)<2\pi$.

Інший зв'язок з виродженими гіпергеометричними функціями полягає в тому, що ${\mathrm{E}}_1$ — це добуток експоненційної функції та $U(1,1,z)$:

${\mathrm{E}}_1(z)={\mathrm{e}}^{-z}U(1,1,z)$.

Експоненційний інтеграл тісно пов'язаний з логарифмічною інтегральною функцією $\mathrm{li}(x)$ за допомогою формули

$\mathrm{li}({\mathrm{e}}^x)=\mathrm{Ei}(x)$

для ненульових дійсних значень $x$.

Експоненційний інтеграл можна також узагальнити до функції

${\mathrm{E}}_n(x)=\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{{\mathrm{e}}^{-xt}}{t^n}\mathrm{d}t$,

яку можна записати як частковий випадок неповної гамма-функції:

${\mathrm{E}}_n(x)=x^{n-1}\mathrm{\Gamma }(1-n,x)$.

Таку узагальнену форму іноді називають функцією Мізра, ${\phi }_m(x)$, що визначається як

${\phi }_m(x)={\mathrm{E}}_{-m}(x)$.

З використанням логарифма визначає узагальнену інтегро-експоненційну функцію

${\mathrm{E}}_s^j(z)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(j+1)}\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\log t{)}^j\frac{{\mathrm{e}}^{-zt}}{t^s}\mathrm{d}t$.

Невизначений інтеграл

$\mathrm{Ei}(a\cdot b)=\iint {\mathrm{e}}^{ab}\mathrm{d}a\mathrm{d}b$

за формою схожий на звичайну твірну функцію для $\mathrm{d}(n)$, кількість дільників числа $n$:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{d}(n)x^n=\sum _{a=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{b=1}^{\mathrm{\infty }}{x}^{ab}$.

Похідні

Похідні узагальнених функцій ${\mathrm{E}}_n$ можна обчислювати за формулою:

$\mathrm{E}{\text{'}}_n(z)=-{\mathrm{E}}_{n-1}(z),n=1,2,3,\dots$.

Зауважимо, що функція ${\mathrm{E}}_0$ — це просто ${\mathrm{e}}^{-z}/z$, і таким чином таке рекурсивне співвідношення досить зручне.

Експоненційний інтеграл уявного аргументу

Графік дійсної (чорна крива) та уявної (червона крива) частин функції ${\mathrm{E}}_1(ix)$.

Якщо $z$ є уявним та має невід'ємну дійсну частину, то можна використовувати формулу

${\mathrm{E}}_1(z)=\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{{\mathrm{e}}^{tz}}{t}\mathrm{d}t$

для співвідношення з тригонометричними інтегралами $\mathrm{Si}$ та $\mathrm{Ci}$:

${\mathrm{E}}_1(ix)=i[-\frac{1}{2}\pi +\mathrm{Si}(x)]-\mathrm{Ci}(x),x>0$.

Дійсні та уявні частини функції ${\mathrm{E}}_1(ix)$ зображені на рисунку.

Наближення

Існує ряд наближень для експоненційної інтегральної функції. Зокрема,

• Наближення Сваме та Охії

${\mathrm{E}}_1(x)={(A^{-7,7}+B)}^{-0,13}$,

де

$A=\ln [(\frac{0,56146}{x}+0,65)(1+x)]$,

$B=x^4{\mathrm{e}}^{7,7x}(2+x{)}^{3,7}$.

• Наближення Аллена та Гастінгса

${\mathrm{E}}_1(x)=\{\begin{array}{c}-\ln x+𝒂{𝒙}_5,x\le 1,\\ \frac{{\mathrm{e}}^{-x}}{x}\frac{𝒃{𝒙}_3}{𝒄{𝒙}_3},x\ge 1,\end{array}$

де

$𝒂\triangleq [-0,57722,0,99999,-0,24991,0,05519,-0,00976,0,00108],$

$𝒃\triangleq [0,26777,8,63476,18,05902,8,57333],$

$𝒄\triangleq [3,95850,21,09965,25,63296,9,57332],$

${𝒙}_k\triangleq {[x^0,x^1,\dots ,x^k]}^T.$

• Неперервний ланцюговий дріб

${\mathrm{E}}_1(x)=\frac{{\mathrm{e}}^{-x}}{x+\frac{1}{1+\frac{1}{x+\frac{2}{1+\frac{2}{x+\frac{3}{\dots }}}}}}$.

• Наближення Баррі зі співавторами

${\mathrm{E}}_1(x)=\frac{{\mathrm{e}}^{-x}}{G+(1-G){\mathrm{e}}^{-\frac{x}{1-G}}}\ln [1+\frac{G}{x}-\frac{1-G}{(h+bx{)}^2}]$,

де

$h=\frac{1}{1+x\sqrt{x}}+\frac{h_{\mathrm{\infty }}q}{1+q}$,

$q=\frac{20}{47}{x}^{\sqrt{\frac{31}{26}}}$,

$h_{\mathrm{\infty }}=\frac{(1-G)(G^2-6G+12)}{3G(2-G{)}^{2}b}$,

$b=\sqrt{\frac{2(1-G)}{G(2-G)}}$,

$G={\mathrm{e}}^{-\gamma }$,

$\gamma$ — стала Ейлера — Маскероні.

Застосування

• Залежність теплообміну від часу.
• Нерівноважний потік ґрунтових вод у рівнянні Тейса (функція свердловини).
• Переміщення радіації у міжзоряному просторі та земній атмосфері.
• Рівняння радіальної дифузії для перехідного або нестаціонарного потоку з лінійними джерелами та стоками.
• Розв'язок рівняння переміщення нейтронів у спрощеній 1-D геометрії.

Див. також

• Шаблон:Нп
• Шаблон:Нп

Джерела

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Cite book, Chapter 5.
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal

Посилання

• Шаблон:Springer
• NIST documentation on the Generalized Exponential Integral Шаблон:Webarchive
• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:MathWorld
• Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals Шаблон:Webarchive in DLMF.