SIC-POVM

Симетрична, інформаційно повна, невід'ємна операторно-значна міра (СІП-НОЗМ, Шаблон:Lang-en) — частковий випадок Шаблон:Не перекладено квантовомеханічного вимірювання в гільбертовому просторі. Такий специфічний різновид вимірювання, який має певні корисні властивості, є перспективним кандидатом для «стандартного квантового вимірювання», яке є одним з фундаментальних понять основ квантової механіки. Більш того, оператори SIC-POVM застосовуються у Шаблон:Не перекладено і квантовій криптографії.

Означення

Через той факт, що оператори SIC-POVM використовуються насамперед у квантовій механіці, елементи гільбертового простору представлятимуться за допомогою позначень Дірака.

У загальному випадку, набір операторів Шаблон:Не перекладено у $d$-мірному гільбертовому просторі $\mathscr{H}$ визначається як такий набір $M$ Шаблон:Не перекладено $\{F_i\}$ у гільбертовому просторі, що їх сума дорівнює одиничній матриці:

$\sum _{i=1}^M{F}_i=I.$

Набір операторів SIC-POVM, який є частковим випадком POVM, складається з нормованих проєкторів, що мають один відносно одного властивості симетрії та інформаційної повноти. Умова інформаційної повноти означає, що набір ймовірностей спостереження різних результатів вимірювання будь-якого квантового стану за схемою SIC-POVM повністю визначає цей стан. Для виконання цієї умови набір SIC-POVM повинен складатися з $d^2$ лінійно незалежних операторів. У свою чергу, умова симетрії означає, що внутрішній добуток усіх пар нормованих проєкторів $F_i,F_j$ є постійним:

$\mathrm{S}\mathrm{p}\left(F_i{F}_j\right)=\frac{\mathrm{S}\mathrm{p}\left({\mathrm{\Pi }}_i{\mathrm{\Pi }}_j\right)}{d^2}=\frac{{|⟨{\psi }_i|{\psi }_j⟩|}^2}{d^2}=\frac{1}{d^2(d+1)},i\ne j.$

Таким чином, поєднання умов симетрії та інформаційної повноти задає набір $M$, що складається з операторів виду

$F_i=\frac{1}{d}{\mathrm{\Pi }}_i,$

де ${\mathrm{\Pi }}_i$ — проєктор із рангом 1.

Властивості

Симетрія

Як означено вище, попарно різні внутрішні добутки чистих станів мають дорівнювати константі. Оскільки $\frac{1}{d}\sum _{\alpha }{\mathrm{\Pi }}_{\alpha }=I$, то цю константу $\mathrm{S}\mathrm{p}({\mathrm{\Pi }}_{\alpha }{\mathrm{\Pi }}_{\beta })={\mu }^2$ можна визначити наступним чином:

$d=\mathrm{S}\mathrm{p}(I^2)=\frac{1}{d^2}\sum _{\alpha ,\beta }\mathrm{S}\mathrm{p}({\mathrm{\Pi }}_{\alpha }{\mathrm{\Pi }}_{\beta })=\frac{1}{d^2}(d^2+{\mu }^2{d}^2(d^2-1)),$

звідки:

$\mathrm{S}\mathrm{p}\left({\mathrm{\Pi }}_i{\mathrm{\Pi }}_j\right)={|⟨{\psi }_i|{\psi }_j⟩|}^2=\frac{1}{d+1},i\ne j.$

Зв'язок із рівнонахиленими базисами

У d-вимірному гільбертовому просторі, два різні базиси $\{|{\psi }_i⟩\}$ та $\{|{\varphi }_j⟩\}$ називаються рівнонахиленими, якщо:

$|⟨{\psi }_i|{\varphi }_j⟩{|}^2=\frac{1}{d},\mathrm{\forall }i,j\in \{1,\dots ,d\}.$

Це поняття за своєю сутністю схоже до властивості симетрії у SIC-POVM. Так, задача знаходження SIC-POVM еквівалентна до задачі знаходження рівнокутних прямих у C^d, тоді як повний набір рівнонахилених базисів можна представити у вигляді афінного простору. Можна показати, що геометрична структура, яка відповідає задачі знаходження повного набору $N+1$ рівнонахилених базисів, еквівалентна до геометричної структури, що відповідає SIC-POVM. Але треба відзначити, що еквівалентність цих задач справедлива у сенсі абстрактної геометрії, тому внаслідок того, що простори кожної з цих геометричних структур, взагалі кажучи, відрізняються, не можна точно гарантувати, що розв'язок на одному просторі безпосередньо відповідатиме розв'язкові на іншому.

Прикладом, де така еквівалентність дає результат, є випадок 6-вимірного гільбертового простору, в якому SIC-POVM було знайдено аналітично за допомогою математичного програмного забезпечення, але поки не було знайдено повного набору рівнонахилених базисів.

Див. також

• Шаблон:Не перекладено
• Вимірювання (квантова механіка)
• Квантовий байєсіанізм
• Рівнонахилені базиси
• Шаблон:Не перекладено