Q-кулька

Q-кулька — в теоретичній фізиці різновид нетопологічного солітона. Солітон є локалізованою конфігурацією поля, яка є стійкою — не може розпадатися і розсіюватися. У випадку нетопологічного солітона стабільність забезпечується збереженням заряду: солітон має найменшу енергію на одиницю заряду, ніж у будь-якому іншому стані. У фізиці заряд часто позначається літерою «Q», а солітон сферично-симетричний, звідси і назва.

Інтуїтивне пояснення

Q-кулька з'являється в теорії бозонів, за наявності притягання між частинками. Грубо кажучи Q-кулька — це скінченного розміру згусток, що містить велику кількість частинок. Згусток стійкий щодо поділу на дрібніші згустки та до «випаровування» через виділення окремих частинок, оскільки, за рахунок тяжіння, він є найбільш енергетично вигідною конфігурацією даної кількості частинок. Це аналогічно тому, що Нікель-62 є дуже стабільним ядром, оскільки це найстійкіше утворення з протонів та нейтронів, однак Нікель-62 не Q-кулька, бо протони і нейтрони — ферміони, а не бозони.

Щоб утворити Q-кульку кількість частинок має бути збережена (тобто номер частинки є збереженим «зарядом», а отже частинки описуються комплексними значеннями поля $\phi$), а потенціал взаємодії частинок $V(\varphi )$ повинен мати від'ємне значення (притягання). Для невзаємодіючих частинок потенціал буде складатись лише з масового доданку $V_{\mathrm{f}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{e}}(\varphi )=m^2|\varphi {|}^2$, і Q-кулька не утвориться. Проте, якщо додати член, який відповідає притяганню $-\lambda |\varphi {|}^4$ (та вищі ступені по $\varphi$ для забезпечення скінченної нижньої границі потенціалу) то будуть існувати значення $\varphi$, для яких $V(\varphi )<V_{\mathrm{f}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{e}}(\varphi )$, тобто енергія поля менша енергії вільного поля. Це відповідає тому, що можна створити згустки ненульового поля (кластери з багатьох частинок), енергія яких менша за енергію тієї ж кількості складових, взятих окремо. Тому такі згустки є стійкими до розпаду на окремі частинки.

Побудова Q-кульки

У своєму найпростішому вигляді Q-кулька утворюється із комплексного скалярного поля $\varphi$, в якому Лагранжіан є інваріантним відносно перетворення симетрії $U(1)$. Розв'язок для Q-кульки є мінімізацією енергії із збереженням заряду Q,який відповідає за загальну симетрію $U(1)$. Один з найпростіших способів знаходження розв'язку — за допомогою методу множників Лагранжа. Зокрема у випадку трьох просторових координат ми повинні мінімізувати функціонал:

$E_{\omega }=E+\omega [Q-\frac{1}{2i}\int d^{3}x({\varphi }^{*}{\partial }_t\varphi -\varphi {\partial }_t{\varphi }^{*})],$

де енергія визначається як

$E=\int d^{3}x[\frac{1}{2}{\dot{\varphi }}^2+\frac{1}{2}|\mathrm{\nabla }\varphi {|}^2+U(\varphi ,{\varphi }^{*})],$

$\omega$ — множник Лагранжа. Часова залежність розв'язку для Q-кульки може бути легко отримана, якщо переписати функціонал $E_{\omega }$ як:

$E_{\omega }=\int d^{3}x[\frac{1}{2}|\dot{\varphi }-i\omega \varphi {|}^2+\frac{1}{2}|\mathrm{\nabla }\varphi {|}^2+{\hat{U}}_{\omega }(\varphi ,{\varphi }^{*})],$

де ${\hat{U}}_{\omega }=U-\frac{1}{2}{\omega }^2{\varphi }^2$. Оскільки перший доданок функціоналу тепер додатній, мінімізація цього виразу означає

$\varphi (\overrightarrow{r},t)={\varphi }_0(\overrightarrow{r})e^{i\omega t}.$

В даному випадку множник $\omega$ інтерпретується як частота коливань поля всередині Q-кульки.

Теорія допускає розв'язки для Q-кульки, якщо існують будь-які значення ${\varphi }^{*}\varphi$, для яких потенціал менший від $m^2{\varphi }^{*}\varphi$. В цьому випадку простір, який містить поле може мати енергію на одиницю заряду меншу ніж $m$, а це означає, що він не може розпадатись на газ окремих частинок. Така область є Q-кулькою. Якщо вона достатньо велика, то її наповнення однорідне і називається «Q-матерією». Докладніше див Lee et al. (1992).

Тонкостінні Q-кульки

Тонкостінна Q-кулька була першим об'єктом дослідження. Одним з перших, хто цим займався був Сідні Коулман в 1986. З цієї причини різновид тонкостінних Q-кульок називають «Коулманівськими Q-кульками».

Ми можемо уявляти такі Q-кульки як сферу з ненульовим вакуумним очікуваним значенням. В тонкостінному наближенні беремо сферичну симетрію поля для простоти: ${\varphi }_0(r)=\theta (R-r){\varphi }_0$. В цьому випадку заряд Q-кульки є просто $Q=\omega {\varphi }_0^{2}V$. Використовуючи цей факт можна прибрати $\omega$ з енергії. Матимемо:

$E=\frac{1}{2}\frac{Q^2}{{\varphi }_0^{2}V}+U({\varphi }_0)V.$

Мінімізація по відношенню до $V$ дає

$V=\sqrt{\frac{Q^2}{2U({\varphi }_0){\varphi }_0^2}}.$

Підстановка цього назад в енергію дає:

$E=\sqrt{\frac{2U({\varphi }_0)}{{\varphi }_0^2}}Q.$

Тепер все, що залишилось, це мінімізувати енергію відносно ${\varphi }_0$. Таким чином, можна констатувати, що розв'язок для тонкостінних Q-кульок існує тоді і тільки тоді, коли

$min=\frac{2U(\varphi )}{{\varphi }^2},$ при $\varphi >0$.

Коли наведений вище критерій виконується Q-кулька існує та стійка до розпаду на кванти. Маса тонкостінної кульки є просто енергією $M(Q)={\omega }_{0}Q$.

Історія

Конфігурації скалярного поля, які є класично стабільними (стабільними щодо малих збурень) були запропоновані Розеном в 1968 році. Стабільні конфігурації декількох скалярних полів вивчали Фрідберг, Лі та Сірлін у 1976. Назва «Q-кулька» та докази квантово-механічної стійкості (стабільність щодо переходу на нижчі енергетичні рівні) були запропоновані Сідні Коулманом.

Існування в природі

Було висунуте припущення, що темна матерія може складатись із Q-кульок (Frieman et al.. 1988, Kusenko et al.. 1997) і вони відіграють певну роль у баріогенезисі, тобто походженні матерії, яка наповнює Всесвіт (Dodelson et al.. 1990, Enqvist et al.. 1997). Інтерес до Q-кульок був викликаний думкою про те, що вони виникають в теоріях суперсиметричного поля (Kusenko 1997), тому якщо дійсно природа має фундаментальну симетрію, то Q-кульки могли виникнути у ранньому Всесвіті і існують досі.

Фантастика

• У фільмі «Схід Сонця» («Sunshine») Сонце зазнає передчасної смерті. Науковий радник фільму, співробітник CERN Браян Кокс, запропонував «зараження» Q-кульками, як механізм для цієї смерті. Проте це згадується лише в коментарях до фільму, а не у ньому прямо.
• У фантастичному Всесвіті «Руки Оріона» Q-кульки — один з можливих джерел для великої кількості антиматерії, яка використовується певними групами.