P-група

У математиці p-групою, де p  — просте число, називається група в якій порядок кожного елемента є степенем числа p, тобто для кожного елемента g існує натуральне число n, що g^pn=1 і для всіх додатних m < pⁿ елемент g^m не дорівнює нейтральному. Якщо група скінченна, то її порядок тоді теж рівний деякому степеню числа p (оскільки згідно теорем Силова кожна p-підгрупа, зокрема і сама група має міститися в деякій підгрупі Силова і тому група сама є своєю підгрупою Силова, тобто її порядок є степенем числа p). В основному інтерес становлять саме скінченні p-групи.

Центр p-групи

Однією з найважливіших властивостей скінченних p-груп є така теорема:

• Центр нетривіальної скінченної p-групи є нетривіальною групою.

Доведення

Візьмемо деяку p-групу G ($|G|=p^k$) і задамо дію групи G на множині G:

$\varphi :G\times G\to G;\varphi (g,x)=gx{g}^{-1}$

Спершу доведемо, що орбіта довільного елемента складається лише з того елемента тоді і лише тоді коли цей елемент належить до центру групи:

${\mathrm{\forall }}_{x\in G}|G(x)|=1⟺x\in Z(G)$

Візьмемо довільний $g\in G$. Тоді:

$gx{g}^{-1}=x=g{g}^{-1}x⟺gx{g}^{-1}=g{g}^{-1}x⟺x\in Z(G)$

Далі доведемо, що, якщо деяка орбіта має більш ніж один елемент, то її порядок ділиться на p:

${\mathrm{\forall }}_{x\in G}|G(x)|>1\Rightarrow p||G(x)|$

Припустимо, що для $x\in G$ маємо $|G(x)|>1$. Оскільки стабілізатор $G_x$ є підгрупою G, то, згідно з теоремою Лагранжа, кількість його елементів ділить кількість елементів G, отже $|G_x|=p^l,l>0$. Далі:

$|G(x)|=|G:G_x|=\frac{|G|}{|G_x|}=\frac{p^k}{p^l}=p^{k-l}$

G є об'єднанням орбіт:

$G=\bigcup G(x)=\bigcup _{|G(x)|=1}G(x)\cup \bigcup _{|G(x)|>1}G(x)$

Звідси отримуємо:

$p^k=|G|=\sum _{|G(x)|=1}|G(x)|+\sum _{|G(x)|>1}G(x)=|Z(G)|+\sum _{i=1}s{p}^{a_i}$

де s  — кількість орбіт, що містять більше одного елемента, а всі a_i більші від нуля. З останньої формули одержуємо, що |Z(G)| ділиться на p.

Властивості

• Якщо $H$ нормальна в $P$, то $|H\cap Z(P)|>1$.

Ця властивість одержується з теореми про центр, якщо врахувати, що будь-яка підгрупа p-групи сама є p-групою і що нормальна підгрупа інваріантна до спряжень. Тому в попередньому доведенні можна взяти H замість P і $H\cap Z(P)$ замість Z(P).

• Усі p-групи є нільпотентними.

Скінченні p-групи невеликих порядків

Число різних $p$-групп порядку $p^n$

• Число неізоморфних груп порядку $p$ рівне 1: група $C_p$.
• Число неізоморфних груп порядку $p^2$ рівне 2: групи $C_{p^2}$ і $C_p\times C_p$.
• Число неізоморфних груп порядку $p^3$ рівне 5, з них три абелеві: $C_{p^3}$, $C_{p^2}\times C_p$, $C_p\times C_p\times C_p$ і дві неабелеві: при $p>2$ — $E_{p^3}^{+}$ і $E_{p^3}^{-}$; при p = 2 — $D_8$, $Q_8$.
• Число неізоморфних груп порядку $p^4$ рівне 15 при $p>2$, число груп порядку $2^4$ рівне 14.
• Число неізоморфних груп порядку $p^5$ рівне $2p+61+2GCD(p-1,3)+GCD(p-1,4)$ при $p\ge 5$. Число груп порядку $2^5$ рівне 51, число груп порядку $3^5$ рівне 67.
• Число неізоморфних груп порядку $p^6$ рівне $3p^2+39p+344+24GCD(p-1,3)+11GCD(p-1,4)+2GCD(p-1,5)$ при $p\ge 5$. Число груп порядку $2^6$ рівне 267, число груп порядку $3^6$ рівне 504.
• Число неізоморфних груп порядку $p^7$ рівне $3p^5+12p^4+44p^3+170p^2+707p+2455+(4p^2+44p+291)GCD(p-1,3)+(p^2+19p+135)GCD(p-1,4)+(3p+31)GCD(p-1,5)+4GCD(p-1,7)+5GCD(p-1,8)+GCD(p-1,9)$ при $p>5$. Число груп порядку $2^7$ рівне 2328, число груп порядк $3^7$ рівне 9310, число груп порядку $5^7$ рівне 34297.

p-групи порядку pⁿ, асимптотика

При $n\to \mathrm{\infty }$ число неізоморфних груп порядку $p^n$ асимптотично рівне $p^{(2/27+O(n^{-1/3}))n^3}$.

Див. також

• Теореми Силова

Джерела

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Курош.Теорія груп
• Холл М. Теория групп. Издательство иностранной литературы — Шаблон:М., 1962.
• Gorenstein D. Finite groups — N.Y.: Harper and Row, 1968.
• Шаблон:Rotman.An Introduction to the Theory of Groups