4-тензор

4-тензор — математичний об'єкт, який використовується для опису поля в релятивістській фізиці, тензор, визначений у чотиривимірному просторі-часі, повороти системи відліку в якому включають як звичні повороти тривимірного простору, так і перехід між системами відліку, які рухаються з різними швидкостями одна щодо іншої.

У загальному випадку 4-тензор є об'єктом із набором індексів:

$A_{i_1{i}_2\dots i_n}^{j_1{j}_2\dots j_m}$

При зміні системи відліку компоненти цього об'єкта перетворюються за законом

$A_{i_1{i}_2\dots i_n}^{\prime j_1{j}_2\dots j_m}={\beta }_{j_1{k}_1}{\beta }_{j_2{k}_2}\dots {\beta }_{j_m{k}_m}{\alpha }_{i_1{l}_1}{\alpha }_{i_2{l}_2}\dots {\alpha }_{i_n{l}_n}{A}_{l_1{l}_2\dots l_n}^{k_1{k}_2\dots k_m}$,

де ${\alpha }_{ij}$ — матриця повороту, ${\beta }_{ij}$ — обернена їй.

Верхні індекси називаються контраваріантними, нижні — коваріантними. Сумарне число індексів задає ранг тензора. 4-вектор є 4-тензором першого рангу.

Зазвичай у фізиці тензори однакової природи з різним числом коваріантних і контраваріантних індексів вважаються спорідненими (дуальними). Опускання чи піднімання індекса здійснюється за допомогою метричного тензора $\hat{g}$, наприклад для 4-тензора другого рангу

$A^{ij}=g^{jk}{A}_k^i$

Приклади

Рівняння теорії відносності особливо зручно записувати, використовуючи 4-вектори й 4-тензори. Головною перевагою такого запису є те, що в цій формі рівняння автоматично Лоренц-інваріантні, тобто не змінюються при переході від однієї інерційної системи координат до іншої.

Тензор електромагнітного поля

Відповідний 4-тензор існує також і для опису електромагнітного поля. Це 4-тензор другого рангу. При його використанні основні рівняння для електромагнітного поля: рівняння Максвела й рівняння руху зарядженої частки в полі мають особливо просту й елегантну форму.

Визначення через 4-потенціал

4-тензор визначається через похідні від 4-потенціалу:

$F_{ik}=\frac{\partial A_k}{\partial x^i}-\frac{\partial A_i}{\partial x^k}$.

Визначення через тривимірні вектори

4-тензор визначається через звичайні тривимірні складові векторів напруженості так:

$F_{ik}=\left(\begin{array}{cccc}0& E_x& E_y& E_z\\ -E_x& 0& -H_z& H_y\\ -E_y& H_z& 0& -H_x\\ -E_z& -H_y& H_x& 0\end{array}\right)$

$F^{ik}=\left(\begin{array}{cccc}0& -E_x& -E_y& -E_z\\ E_x& 0& -H_z& H_y\\ E_y& H_z& 0& -H_x\\ E_z& -H_y& H_x& 0\end{array}\right)$

Перша форма — це коваріантний тензор, друга форма — контраваріантний тензор.

Сила Лоренца

Записане у 4-векторній формі рівняння руху зарядженої частки в електромагнітному полі набирає вигляду

$mc\frac{d{u}^i}{ds}=\frac{q}{c}{F}^{ik}{u}_k$,

де $u^k$ — 4-швидкість, q — електричний заряд частки, c — швидкість світла, m — маса спокою. Права частина цього рівняння це сила Лоренца.

Тривимірні тензори всередині чотиривимірних

Заміна просторових координат

Якщо робити обчислення компонент тензора в довільній рухомій системі координат, про яку було сказано в попередньому пункті, то важко буде порівнювати результати з експериментом, адже зручно розглядати лише інерційні системи координат, або близькі до інерційних (згідно з принципом еквівалентності гравітація еквівалентна силам інерції, тому в умовах сильного гравітаційного поля глобальної інерційної системи не існує).

У цій приблизно інерційній системі координат вісь часу сприймається окремо від простору, і ми можемо розглядати такі заміни координат (наприклад перехід від прямокутної декартової у сферичну систему координат), де час $x^0$ залишається незмінним, а просторові координати однієї системи $\{{\hat{x}}^1,{\hat{x}}^2,{\hat{x}}^3\}$ виражаються через просторові координати іншої, і не залежать від часу:

$(4){\hat{x}}^0=x^0$

${\hat{x}}^1={\hat{x}}^1(x^1,x^2,x^3)$

${\hat{x}}^2={\hat{x}}^2(x^1,x^2,x^3)$

${\hat{x}}^3={\hat{x}}^3(x^1,x^2,x^3)$

матриці переходу між такими системами координат мають блочно-діагональний вигляд, а саме:

$(5)({\alpha }_j^i)=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& {\alpha }_1^1& {\alpha }_1^2& {\alpha }_1^3\\ 0& {\alpha }_2^1& {\alpha }_2^2& {\alpha }_2^3\\ 0& {\alpha }_3^1& {\alpha }_3^2& {\alpha }_3^3\end{array}\right]$

$(5a)({\beta }_j^i)=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& {\beta }_1^1& {\beta }_1^2& {\beta }_1^3\\ 0& {\beta }_2^1& {\beta }_2^2& {\beta }_2^3\\ 0& {\beta }_3^1& {\beta }_3^2& {\beta }_3^3\end{array}\right]$

дійсно, із першого рівняння (4) маємо:

$(6){\alpha }_0^0=\frac{\partial {\hat{x}}^0}{\partial x^0}=1$

$(7){\alpha }_i^0=\frac{\partial {\hat{x}}^0}{\partial x^i}{|}_{x^0=const}=0,(i=1,2,3)$

а з решти трьох рівнянь (4) маємо:

$(8){\alpha }_0^i=\frac{\partial {\hat{x}}^i}{\partial x^0}=0,(i=1,2,3)$

Такі ж міркування справедливі і для оберненої матриці ${\beta }_j^i$, якщо врахувати, що система рівнянь, обернена до (4) має точно такий самий вигляд.

Поділ компонент чотиривимірних тензорів на групи

Розглянемо для прикладу тензор третього рангу $T^{ijk}$. Поглянемо, як змінюється його нульова компонента $T^{000}$ при заміні просторових координат (4):

$(9){\hat{T}}^{000}=\sum _{i,j,k=0}^3{\alpha }_i^0{\alpha }_j^0{\alpha }_k^0{T}^{ijk}={\alpha }_0^0{\alpha }_0^0{\alpha }_0^0{T}^{000}=T^{000}$

в цих перетвореннях ми врахували спочатку формулу (8) (при $i\ne 0$) чим відсіяли нульові доданки, а потім фомулу (6).

Як бачимо з формули (9), нульова компонента довільного тензора залишається незмінною при перетвореннях (4), тобто є тривимірним скаляром. Тепер звернемося до компонент тензора $T^{00i}$ з одним "просторовим" індексом $i=1,2,3$:

$(10){\hat{T}}^{00i}=\sum _{p,q,j=0}^3{\alpha }_p^0{\alpha }_q^0{\alpha }_j^i{T}^{pqj}={\alpha }_j^i{T}^{00j}$

тобто ця сукупність компонент 4-тензора поводиться як тривимірний вектор. Також тривимірним вектором буде $T^{0i0}$, цей вектор може відрізнятися від щойно розглянутого, якщо 4-тензор був несиметричний по останніх двох індексах. Аналогічно маємо, що $T^{0ij}$ є просторовим тензором другого рангу, а $T^{ijk}$ - просторовим тензором третього рангу.

Треба зазначити, що можна виділяти тривимірні тензори як з коваріантних, так і з контраваріантних компонент 4-тензора. Результат ми одержимо різний. Чому це так, стане ясно після розгляду метрики простору-часу і деяких простих геометричних міркувань.

Просторові компоненти метричного тензора

Розглянемо компоненти метричного тензора $g_{ij}$. Згідно з попереднім пунктом, з цих 16-ти компонент можна виділити один тривимірний скаляр $a=g_{00}$, один тривимірний вектор $b_i=g_{0i}=g_{i0}(i=1,2,3)$ та один тривимірний симетричний тензор, який ми візьмемо зі знаком мінус: ${\gamma }_{ij}=-g_{ij}$. Тоді матриця метричного тензора простору-часу запишеться так:

$(11)(g_{ij})=\left[\begin{array}{cccc}a& b_1& b_2& b_3\\ b_1& -{\gamma }_{11}& -{\gamma }_{12}& -{\gamma }_{13}\\ b_2& -{\gamma }_{21}& -{\gamma }_{22}& -{\gamma }_{23}\\ b_3& -{\gamma }_{31}& -{\gamma }_{32}& -{\gamma }_{33}\end{array}\right]$

Вияснимо фізичний зміст тривимірного тензора ${\gamma }_{ij}$. Для цього розглянемо тривимірний підпростір (в 4-вимірному просторі-часі) у фіксований момент часу $x^0=const,(t=x^0/c=const)$. Цей підпростір є деякою (в загальному випадку кривою) гіперповерхнею 4-вимірного простору. Квадрат відстані $d{l}^2$ між двома сусідніми точками цієї гіперповерхні ($d{x}^0=0$) є додатня величина, що дорівнює взятому зі знаком мінус просторво-часовому інтервалу:

$(12)d{l}^2=-d{s}^2=-\sum _{i,j=0}^3{g}_{ij}d{x}^{i}d{x}^j=\sum _{i,j=1}^3{\gamma }_{ij}d{x}^{i}d{x}^j>0$

Як видно з останньої формули, ${\gamma }_{ij}$ є тривимірним метричним тензором.

Скаляр $a=g_{00}$ очевидно задає масштаб часу (спільний для всіх систем координат, які пов'язані з цими перетвореннями (4)). Вектор $b_i=g_{0i}$ є мірою неортогональності вибраної осі часу щодо просторових координат. Це проявляється в тому, що обчислення координати швидкості світла дає різний результат в напрямку вектора $𝐛$ і в протилежному напрямку. А саме, розглянемо дві близькі точки простору-часу, які належать траєкторії світла. Просторово-часовий інтервал між цими точками дорівнює нулю:

$(13)0=g_{ij}d{x}^{i}d{x}^j=a(d{x}^0{)}^2+2\sum _{i=1}^3{b}_{i}d{x}^{0}d{x}^i-\sum _{i,j=1}^3{\gamma }_{ij}d{x}^{i}d{x}^j$

Позначимо компоненти швидкості світла $v^i=\frac{d{x}^i}{dt}$, і поділимо (13) на $d{t}^2$. Останній доданок (13) дасть очевидно квадрат швидкості світла (згортка вектора з метричним тензором), а другий доданок - скалярний добуток швидкості світла на вектор $𝐛=𝐮/c$. Маємо:

$(14)0=a{c}^2+2(𝐮\cdot 𝐯)-{𝐯}^2$

Зробивши заміну просторових координат, направимо вісь абсцис $Ox$ вздовж вектора $𝐮$ і перейдемо до проєкції на цю вісь, яка може бути додатньою або від'ємною. Для знаходження проєкції $v$ маємо квадратне рівняння:

$(15)a{c}^2+2uv-v^2=0$

звідки маємо два розвязки для руху світла в протилежних напрямках:

$(16)v=u\pm \sqrt{a{c}^2+u^2}$

Модулі цих величин різні, якщо $u\ne 0$.

Цікаво також поглянути на викривлений фізичний простір-час, аналогічно до того, як це робиться в диференціальній геометрії, уявивши його вміщеним у гіпотетичний плоский псевдоевклідовий простір достатньо великої розмірності $N$. Радіус-вектор в цьому охоплюючому просторі позначимо $𝐫$. Тоді фізичний простір-час задається параметрично:

$(17)𝐫=𝐫(x^0,x^1,x^2,x^3)$

а тривимірний простір всередині 4-вимірного одержується поклавши в (17) $x^0=const$. Тобто маємо такий тривимірний многовид, залежний від трьох параметрів:

$(18)𝐫=𝐫(x^1,x^2,x^3)$

Координатні (N-вимірні!) вектори в обох випадках даються формулами:

$(19){𝐫}_i=\frac{\partial 𝐫}{\partial x^i}$

ці величини, очевидно, збігаються при просторових значеннях індекса ($i=1,2,3$). Метричний тензор обчислюється через псевдоевклідовий скалярний добуток цих векторів:

$(20)g_{ij}=({𝐫}_i\cdot {𝐫}_j)$

Просторові компоненти 4-вектора

Образ контраваріантного 4-вектора $a^i$ в охоплюючому псевдоевклідовому просторі дорівнює:

$(21)𝐚=a^i{𝐫}_i=a^0{𝐫}_0+a^1{𝐫}_1+a^2{𝐫}_2+a^3{𝐫}_3$

Якщо в цьому векторі ми виділимо просторову частину $\{a^1,a^2,a^3\}$, то її образом буде інший вектор охоплюючого простору:

$(22)\widetilde{𝐚}=a^1{𝐫}_1+a^2{𝐫}_2+a^3{𝐫}_3$

який очевидно є (неортогональною) проєкцією вектора $𝐚$ на тривимірний підпростір $({𝐫}_1,{𝐫}_2,{𝐫}_3)$ паралельно осі часу ${𝐫}_0$.

Розглянемо тепер коваріантні компоненти $a_i$ цього самого вектора $𝐚$. Ці компоненти є коефіцієнтами при розкладанні вектора $𝐚$ по дуальному базису ${𝐫}^i$:

$(23){𝐫}^i=g^{ij}{𝐫}_j$

$(24)𝐚=a_0{𝐫}^0+a_1{𝐫}^1+a_2{𝐫}^2+a_3{𝐫}^3$

Перший доданок у формулі (24) ортогональний до кожного з трьох векторів $({𝐫}_1,{𝐫}_2,{𝐫}_3)$, а тому відкиднувши його, ми здіснимо ортогональну проєкцію вектора $𝐚$ на тривимірну гіперповерхню.

Диференціювання

Найпростіше обчислюються тривимірні символи Крістофеля ${\tilde{\mathrm{\Gamma }}}_{ij,k}$ першого роду (з усіма нижніми індексами), оскільки згідно з формулою (11) просторові компоненти $(i,j=1,2,3)$ чотиривимірного метричного тензора $g_{ij}$ дорівнюють зі знаком мінус компонентам тривимірного метричного тензора ${\gamma }_{ij}$:

$(25){\tilde{\mathrm{\Gamma }}}_{ij,k}=\frac{1}{2}({\partial }_i{\gamma }_{kj}+{\partial }_j{\gamma }_{ik}-{\partial }_k{\gamma }_{ij})=-\frac{1}{2}({\partial }_i{g}_{kj}+{\partial }_j{g}_{ik}-{\partial }_k{g}_{ij})=-{\mathrm{\Gamma }}_{ij,k}$

Вже для символів Крістофеля другого роду:

${\tilde{\mathrm{\Gamma }}}_{ij}^s=\sum _{k=1}^3{\gamma }^{sk}{\tilde{\mathrm{\Gamma }}}_{ij,k}$

співвідношення між тривимірними і чотиривимірними величинами виявляється набагато складнішим, оскільки обернена до (11) матриця має такий доволі складний вигляд:

$(26)(g^{ij})=\frac{1}{D}\left[\begin{array}{cccc}1& b^1& b^2& b^3\\ b^1& b^1{b}^1-D{\gamma }^{11}& b^1{b}^2-D{\gamma }^{12}& b^1{b}^3-D{\gamma }^{13}\\ b^2& b^2{b}^1-D{\gamma }^{21}& b^2{b}^2-D{\gamma }^{22}& b^2{b}^3-D{\gamma }^{23}\\ b^3& b^3{b}^1-D{\gamma }^{31}& b^3{b}^2-D{\gamma }^{32}& b^3{b}^3-D{\gamma }^{33}\end{array}\right]$

В цій формулі позначено: ${\gamma }^{ij}$ - тривимірна матриця, обернена до ${\gamma }_{ij}$; $b^i=\sum _{j=1}^3{\gamma }^{ij}{b}_j$ - контраваріантні компоненти тривимірного вектора $b_i$; і коефіцієнт

$D=a+{𝐛}^2=a+b^1{b}_1+b^2{b}_2+b^3{b}_3$

Також, в загальному випадку, складні вирази одержуються між тензорами кривини і лапласіанами (операторами Лапласа — Бельтрамі). Але у випадку плоского простору Мінковського ми маємо просту формулу для лапласіанів. Лапласіан чотиривимірного простору, який називається оператором Даламбера і позначається квадратиком $◻$, дорівнює:

$(27)◻=\frac{{\partial }^2}{\partial (x^0{)}^2}-\frac{{\partial }^2}{\partial (x^1{)}^2}-\frac{{\partial }^2}{\partial (x^2{)}^2}-\frac{{\partial }^2}{\partial (x^3{)}^2}=\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{d{t}^2}-\mathrm{\Delta }$

де через дельту $\mathrm{\Delta }$ позначено лапласіан тривимірного простору.