Чирп-маса

Чирп-маса (Шаблон:Lang-en) компактної подвійної системи визначає провідний порядок орбітальної еволюції системи в результаті втрати енергії від випромінювання гравітаційних хвиль. Оскільки частота гравітаційної хвилі визначається орбітальною частотою, чирп-маса також визначає еволюцію частоти сигналу гравітаційної хвилі, що випромінюється протягом розпаду орбіти подвійної системи. При аналізі даних гравітаційних хвиль легше виміряти чирп-масу, ніж маси двох компонентів окремо. Англійський оригінал терміна походить від слова chirp, яке позначає щебетання, але також використовується для опису останньої стадії злиття чорних дір в подвійній системі, коли частота гравітаційної хвилі різко збільшується.

Визначення з мас компонентів

Система з двох тіл з масами $m_1$ і $m_2$ має чирп-масу

$ℳ=\frac{(m_1{m}_2{)}^{3/5}}{(m_1+m_2{)}^{1/5}}$

Чирп-маса також може бути виражена через загальну масу системи $M=m_1+m_2$ та інші загальні параметри маси:

• зведена маса $\mu =\frac{m_1{m}_2}{m_1+m_2}$:

  $ℳ={\mu }^{3/5}{M}^{2/5},$

• відношення мас $q=m_1/m_2$:

  $ℳ={\left[\frac{q}{(1+q{)}^2}\right]}^{3/5}M,$ або

• симетричне відношення мас $\eta =\frac{m_1{m}_2}{(m_1+m_2{)}^2}=\frac{\mu }{M}=\frac{q}{(1+q{)}^2}={\left(\frac{m_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{o}}}{M}\right)}^2$ :

  $ℳ={\eta }^{3/5}M.$

  Симетричне відношення мас досягає максимального значення $\eta =\frac{1}{4}$, коли $m_1=m_2$, і, таким чином $ℳ=(1/4{)}^{3/5}M\approx 0.435M.$

• середнє геометричне мас компонентів $m_{geo}=\sqrt{m_1{m}_2}$:

  $ℳ=m_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{o}}{\left(\frac{m_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{o}}}{M}\right)}^{1/5},$

  Якщо маси двох компонентів приблизно однакові, то останній множник близький до $(1/2{)}^{1/5}=0.871,$ так що $ℳ\approx 0.871m_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{o}}$. Цей множник зменшується для різних мас компонентів, але досить повільно. Наприклад, для відношення мас 3:1 він стає рівним $ℳ=0.846m_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{o}}$, тоді як для відношення мас 10:1 — $ℳ=0.779m_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{o}}.$

Орбітальна еволюція

У загальній теорії відносності еволюцію орбіти подвійної системи можна обчислити за допомогою постньютонівського наближення — розкладу в ряд за ступенями орбітальної швидкості $v/c$. Еволюція головної частоти гравітаційної хвилі $f$ описується диференціальним рівняннямШаблон:NumBlkде $c$ — швидкість світла, а $G$ — гравітаційна стала.

Якщо можна одночасно виміряти частоту $f$ і похідну частоти $\dot{f}$ гравітаційної хвилі, то можна визначити чирп-масу. Шаблон:NumBlkЩоб визначити маси окремих компонентів у системі, необхідно додатково виміряти члени вищого порядку в постньютонівському розкладі.

Виродження між масою і червоним зміщенням

Одним з обмежень чирп-маси є те, що на неї впливає червоне зміщення: те, що насправді виражається зі спостережуваної форми гравітаційної хвилі, є добутком

${ℳ}_o=ℳ(1+z)$

де $z$ — червоне зміщення. Ця червонозміщена чирп-маса більшаШаблон:Refn, ніж істинна чирп-маса, і її можна перетворити істинну чирп-масу лише шляхом визначення червоного зміщення $z$.

Зазвичай це вирішується використанням спостережуваної амплітуди для визначення чирп-маси, поділеної на відстань, і розв'язання обох рівнянь за допомогою закону Габбла для обчислення співвідношення між відстанню та червоним зміщенням.

Див. також

• Зведена маса
• Задача Кеплера в загальній теорії відносності