Зведена маса

Зведена маса - міра інерційності відносного руху матеріальних точок. Ця величина дозволяє звести задачу двох тіл до задачі одного тіла.

Зазвичай позначається літерою μ і має розмірність маси.

Зведена маса двох тіл із масами $m_1$ та $m_2$ дорівнює

$\mu =\frac{m_1{m}_2}{m_1+m_2}$.

Зведена маса менша за масу обох тіл.

Виведення

Рівняння можна отримати таким чином.

Ньютонова механіка

Шаблон:Main Використовуючи другий закон Ньютона, сила з якою тіло 2 діє на тіло 1 є

${𝐅}_{12}=m_1{𝐚}_1.$

Сила з якою тіло 1 діє на тіло 2 є

${𝐅}_{21}=m_2{𝐚}_2.$

Згідно з третім законом Ньютона, ці сили рівні за модулем і протилежні за напрямком:

${𝐅}_{12}=-{𝐅}_{21}.$

Отже,

$m_1{𝐚}_1=-m_2{𝐚}_2.$

${𝐚}_2=-\frac{m_1}{m_2}{𝐚}_1.$

Відносне прискорення a_rel між двома тілами задане як

${𝐚}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{l}}={𝐚}_1-{𝐚}_2=(1+\frac{m_1}{m_2}){𝐚}_1=\frac{m_2+m_1}{m_1{m}_2}{m}_1{𝐚}_1=\frac{{𝐅}_{12}}{m_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{d}}}.$

Отже ми можемо дійти висновку, що тіло 1 рухається щодо позиції тіла 2 як тіло маса якого дорівнює зведеній масі.

Механіка Лагранжа

Інакше, опис Лагранжа задачі двох тіл дає Лагранжіан

$L=\frac{1}{2}{m}_1{\dot{𝐫}}_1^2+\frac{1}{2}{m}_2{\dot{𝐫}}_2^2-V(|{𝐫}_1-{𝐫}_2|)$

де r це вектор позиції маси m_i (частинки $i$). Потенціальна енергія V це функція яка залежить лише від відстані між двома частинками. Якщо ми визначимо

$𝐫={𝐫}_1-{𝐫}_2$

і покладемо початок координат в одну точку з центром мас, тобто

$m_1{𝐫}_1+m_2{𝐫}_2=0$,

тоді

${𝐫}_1=\frac{m_2𝐫}{m_1+m_2},{𝐫}_2=\frac{-m_1𝐫}{m_1+m_2}.$

Тепер, підставляючи, отримуємо новий Лагранжіан

$L=\frac{1}{2}\mu {\dot{𝐫}}^2-V(r),$

де

$\mu =\frac{m_1{m}_2}{m_1+m_2}$

є зведеною масою. Отже, ми звели задачу двох тіл до задачі з одним тілом.

Див. також

• Задача двох тіл
• Система центру мас

Джерела

• Шаблон:Cite book, 516 с.

Шаблон:Physics-stub