Функції випадкових величин

Функції випадкових величин — це один з основних розділів теорії ймовірностей та математичної статистики.

Означення

Нехай на ймовірносному просторі $(\Omega ,ℱ,\mathbb{P})$ задана випадкова величина $\xi (\omega )$, розглянемо функцію дійсного аргументу, область визначення якої включає в себе усі можливі значення заданої випадкової величини. Тоді випадкову величину, яка кожній елементарній події $\omega$ з простору елементарних подій ставить у відповідніcть число $\theta (\omega )=f(\xi (\omega ))$ — називають функцією від однієї випадкової величини. Зауваження: якщо випадкова величина, яка є аргументом функції, дискретна, то функція від цієї випадкової величини завжди буде дискретною випадковою величиною. А якщо неперервна — то відповідна випадкова величина $\theta$ може бути як дискретною так і неперервною, все залежить від функціональної залежності відповідних випадкових величин.

Приклад:

$\xi$ має стандартний гаусівський розподіл; $\theta =\mathrm{sgn}(\xi );$ Тоді розподіл $\theta$ буде мати вигляд:

$\theta$	$-1$	$1$
$P$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$

Дискретний випадок

Розглянемо спочатку дискретну випадкову величину , закон розподілу якої має вигляд:

$\xi$	х1	х2	$\dots$	хn
р	p1	p2	$\dots$	pn

Подія ($\xi =x_i$) настає з імовірністю $p_i$, з цією ж ймовірністю $\eta$ набуває значення $y_i=f(x_i)$. Тому закон розподілу випадкової величини $\eta =f(\xi )$ такий:

$\eta$	ƒ(х1)	ƒ(х2)	$\dots$	ƒ(хn)
р	p1	p2	$\dots$	pn

Якщо існує декілька значень $x_i$, для яких $f(x_i)$ одне і те саме, то всі такі випадки об'єднуються в один, якому відповідає за теоремою додавання ймовірність, що дорівнює сумі ймовірностей об'єднуваних подій.

Неперервний випадок

Приклад: Нехай $X\simeq U(0,1)$, і покладемо $Y=X^2$. Тоді $$F_Y(y)=P(Y\le y)=P(X^2\le y)=P(X\le \sqrt{y})=F_X(\sqrt{y}).$$ Диференціюючи даний вираз, маємо $$f_Y(y)=f_X(\sqrt{y})\frac{1}{2\sqrt{y}}=\frac{1}{2\sqrt{y}},0<y<1,$$ (і $f_Y(y)=0$ в іншому випадку).

Приклад: Нехай $X\simeq U(0,1)$, і нехай $Y=-\log X$. Тоді $$\begin{array}{cc}{F}_Y(y)& =P(Y\le y)=P(-\log X\le y)=P(X\ge e^{-y})=\\ & =1-F_X(e^{-y})=1-e^{-y},y>0,\end{array}$$ не важко помітити, що $Y\simeq Exp(1)$ (або взявши похідну отримаємо $f_Y(y)=e^{-y}$, для $y>0$ ).

Нехай $X$ має довільний неперервний розподіл, і припустимо, що $g$ диференційовна та строго зростає (обернена функція $g^{-1}$ існує та єдина). Покладемо $Y=g(X)$. Обчислення, подібні до наведених вище, дають нам $$F_Y(y)=P(g(X)\le y)=P(X\le g^{-1}(y))=F_X(g^{-1}(y))$$ та $$f_Y(y)=f_X(g^{-1}(y))\cdot \frac{d}{dy}{g}^{-1}(y).$$ Якби $g$ була строго спадною, ми б отримали $$f_Y(y)=-f_X(g^{-1}(y))\cdot \frac{d}{dy}{g}^{-1}(y).$$ (Зверніть увагу, що $f_Y(y)>0$, так як $d{g}^{-1}(y)/dy<0$).

В решті решт, ми показали, що якщо $g$ строго монотонна, то $$f_Y(y)=f_X(g^{-1}(y))\cdot |\frac{d}{dy}{g}^{-1}(y)|.$$

Теорема про перетворення

Нехай $\mathbf{\text{𝐗}}$ — це $n$-мірний неперервний випадковий вектор, який має щільність $f_{\mathbf{\text{𝐗}}}(\mathbf{\text{𝐱}})$, і припустимо, що $\mathbf{\text{𝐗}}$ має множину значень $S\subset {ℝ}^n$. Нехай $g=(g_1,g_2,\dots ,g_n)$ — бієкція від $S$ до деякої множини $T\subset {ℝ}^n$, і розглянемо $n$-мірний випадковий вектор $$\mathbf{\text{𝐘}}=g(\mathbf{\text{𝐗}}).$$ Це означає, що ми розглядаємо $n$ випадкових величин $$Y_1=g_1(X_1,X_2,\dots ,X_n),$$ $$Y_2=g_2(X_1,X_2,\dots ,X_n),$$ $$⋮$$ $$Y_n=g_n(X_1,X_2,\dots ,X_n).$$ Зрештою, припустимо, що $g$ та її обернена функція є неперервно диференційованими (для того щоб якобіан $\mathbf{\text{𝐉}}=|\mathrm{d}(\mathbf{\text{𝐱}})/\mathrm{d}(\mathbf{\text{𝐲}})|$ був коректно визначений).

Щільність $\mathbf{\text{𝐘}}$ дорівнює

$f_{\mathbf{\text{𝐘}}}(\mathbf{\text{𝐲}})=\{\begin{array}{cc}{f}_{\mathbf{\text{𝐗}}}(h_1(\mathbf{\text{𝐲}}),h_2(\mathbf{\text{𝐲}}),\dots ,h_n(\mathbf{\text{𝐲}}))\cdot |\mathbf{\text{𝐉}}|,& \mathbf{\text{𝐲}}\in T,\\ 0& \mathbf{\text{𝐲}}\notin T,\end{array}$

де $h$ обернена (єдина) функція до $g$, і де $$\mathbf{\text{𝐉}}=\left|\frac{\mathrm{d}(\mathbf{\text{𝐱}})}{\mathrm{d}(\mathbf{\text{𝐲}})}\right|=\left|\begin{array}{cccc}\frac{\partial x_1}{\partial y_1}& \frac{\partial x_1}{\partial y_2}& \cdots & \frac{\partial x_1}{\partial y_n}\\ \frac{\partial x_2}{\partial y_1}& \frac{\partial x_2}{\partial y_2}& \cdots & \frac{\partial x_2}{\partial y_n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial x_n}{\partial y_1}& \frac{\partial x_n}{\partial y_2}& \cdots & \frac{\partial x_n}{\partial y_n}\end{array}\right|;$$ тобто, $\mathbf{\text{𝐉}}$ є якобіаном.

Доведення. Спочатку позначимо: $$h(B)=\{\mathbf{\text{𝐱}}:g(\mathbf{\text{𝐱}})\in B\},\text{для}B\subset {ℝ}^n.$$ Тепер $$P(\mathbf{\text{𝐘}}\in B)=P(\mathbf{\text{𝐗}}\in h(B))={\int }_{h(B)}{f}_{\mathbf{\text{𝐗}}}(\mathbf{\text{𝐱}})\mathrm{d}\mathbf{\text{𝐱}}.$$ Проводио заміну $\mathbf{\text{𝐲}}=g(\mathbf{\text{𝐱}})$ відповідно до формули для заміни змінних в кратних інтегралах: $$P(\mathbf{\text{𝐘}}\in B)={\int }_B{f}_{\mathbf{\text{𝐗}}}(h_1(\mathbf{\text{𝐲}}),h_2(\mathbf{\text{𝐲}}),\dots ,h_n(\mathbf{\text{𝐲}}))\cdot |\mathbf{\text{𝐉}}|\mathrm{d}\mathbf{\text{𝐲}}.$$

Твердження теореми одразу випливає з наступного результату:

Нехай $\mathbf{\text{𝐙}}$ це $n$-мірний неперервний випадковий вектор. Якщо для кожної $B\in {ℝ}^n$, $$P(\mathbf{\text{𝐙}}\in B)={\int }_{B}h(\mathbf{\text{𝐱}})\mathrm{d}\mathbf{\text{𝐱}},$$ тоді $h$ — щільність $\mathbf{\text{𝐙}}$.

$◼$

Див. також

• Випадкова величина
• Багатовимірна випадкова величина
• Щільність випадкової величини
• Багатократний інтеграл
• Якобіан
• Обернена функція
• Абсолютно неперервна випадкова величина

Зовнішні посилання

• Шаблон:Springer
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation

Джерела

• Шаблон:Карташов.Імовірність процеси статистика
• Шаблон:Гнеденко.Курс теории вероятностей
• Шаблон:Гіхман.Скороход.Ядренко
• Шаблон:Cite book