Теорема Ґріна — Тао

Теорема Ґріна — Тао — теоретико-числове твердження, яке 2004 року довели Шаблон:Нп і Теренс Тао, згідно з яким послідовність простих чисел містить арифметичні прогресії довільної довжини. Іншими словами, існують арифметичні прогресії простих чисел, що складаються з k членів, де k може бути будь-яким натуральним числом. Доведення полягає в розширенні теореми Семереді.

Формулювання

Хоча теорема відома лише доведенням самого факту наявності як завгодно довгих прогресій у множині простих чисел, проте є значні посилення цього твердження: по-перше, твердження залишається істинним для довільної множини простих чисел додатної щільності (відносно множини всіх простих чисел); по-друге, є окремі верхні оцінки того, наскільки великими можуть бути елементи найменшої прогресії у множині.

Далі у формулюваннях $\mathbb{P}$ означає множину простих чисел. Запис ${\log }_{[k]}x$ означає $\log \log \dots \log x$, де логарифм береться $k$ разів.Шаблон:Рамка Теорема Ґріна — Тао

Нехай $A$ — множина простих чисел, і її щільність відносно простих ${\delta }_{\mathbb{P}}(A)=\lim \underset{N\to \mathrm{\infty }}{\sup }\frac{|A\cap \{1,\dots ,N\}|}{|\mathbb{P}\cap \{1,\dots ,N\}|}$ строго додатна. Тоді для довільного $k⩾2$ множина $A$ містить арифметичну прогресію довжини $k$. Шаблон:/рамкаУ своїй окремій ранішій праці Ґрін довів результат, що стосується функції розподілу множини $A$, але тільки для окремого випадку тричленної прогресії.Шаблон:Рамка Існує стала $c$ така, що якщо для множини простих чисел $A\subset \{1,\dots ,N\}$ виконано $|A|>c\frac{N\sqrt{{\log }_{[5]}N}}{\log N\sqrt{{\log }_{[4]}N}}$, то вона містить тричленну арифметичну прогресію. Шаблон:/рамкаОскільки необхідна функція асимптотично менша від кількості простих чисел на відрізку $[1,n]$, то теорема залишається істинною для нескінченних множин додатної щільності, коли $|A\cap \{1,\dots ,N\}|>\delta \frac{N}{\log N}$, $\delta >0$. Таким чином, можна переформулювати останню теорему для фіксованої щільності.Шаблон:Рамка Існує стала $c$ така, що для довільної множини простих чисел $A\subset \{1,\dots ,N\}$ та її щільності $\delta =\frac{|A\cap \{1,\dots ,N\}|}{|\mathbb{P}\cap \{1,\dots ,N\}|}$ виконуватиметься наслідок: якщо $N⩾e^{e^{e^{\left({(c/{\delta }^2)}^{c/{\delta }^2}\right)}}}$, то $A$ містить тричленну арифметичну прогресію. Шаблон:/рамка

Найдовші послідовності

• 18 січня 2007 року Ярослав Вроблевський знайшов перший випадок арифметичної прогресії з 24 простих чисел:

  $468395662504823+205619\cdot 223092870\cdot n$, від n = 0 до 23.

Тут і далі стала $223092870=23\mathrm{\#}$ — це добуток усіх простих чисел, не більших 23 (прайморіал).

• 17 травня 2008 року Вроблевський та Раанан Чермоні знайшли послідовність із 25 простих чисел:

  $6171054912832631+366384\cdot 23\mathrm{\#}\cdot n$, від n = 0 до 24.

• 12 квітня 2010 року Бенуа Перішон, користуючись програмою Вроблевського та Джефа Рейнолдса в проєкті розподілених обчислень PrimeGrid, знайшов арифметичну прогресію з 26 простих чисел:

  $43142746595714191+23681770\cdot 23\mathrm{\#}\cdot n$, від n = 0 до 25 (Шаблон:OEIS).

• 23 вересня 2019 року Роб Гаан, учасник проєкту PrimeGrid, знайшов арифметичну прогресію з 27 простих чисел:

  $224584605939537911+81292139\cdot 23\mathrm{\#}\cdot n$, від n = 0 до 26 (Шаблон:OEIS).

Варіації та узагальнення

2006 року Тао і Тамар Ціґлер узагальнили результат до поліноміальних прогресій. Точніше, для будь-яких даних многочленів із цілими коефіцієнтами P₁, …, P_k однієї змінної m із нульовим сталим членом є нескінченно багато цілих x, m таких, що x + P₁(m), …, x + P_k(m) — прості числа. Особливий випадок, коли поліноми — це m, 2m, …, km, тягне за собою попередній результат (існують арифметичні прогресії простих чисел довжини k).

Див. також

• Гіпотеза Ердеша про арифметичні прогресії
• Теорема Діріхле про прості числа в арифметичній прогресії
• Арифметична комбінаторика
• Теорема Семереді

Посилання

• MathWorld news article on proofШаблон:Ref-en
• Primes in Arithmetic Progression RecordsШаблон:Ref-en