Теорема про зміну імпульсу системи

Теорема про зміну імпульсу (кількості руху) системи — одна із загальних теорем динаміки, наслідок законів Ньютона. Зв'язує кількість руху з імпульсом зовнішніх сил, що діють на тіла, які складають систему. Системою, про яку йдеться в теоремі, може виступати будь-яка механічна система, що складається з будь-яких тіл.

Формулювання теореми

Кількістю руху (імпульсом) механічної системи називають величину, рівну сумі кількостей руху (імпульсів) усіх тіл, що входять у систему. Імпульс зовнішніх сил, що діють на тіла системи, це сума імпульсів усіх зовнішніх сил, що діють на тіла системи. Теорема про зміну кількості руху системи стверджує: Шаблон:Виписка Теорема допускає узагальнення в разі неінерційних систем відліку. У цьому випадку до зовнішніх сил необхідно додавати переносні та коріолісові сили інерції.

Доведення

Нехай система складається з $N$ матеріальних точок з масами $m_i$ та прискореннями ${\overrightarrow{a}}_i$. Усі сили, що діють на тіла системи, розділимо на два види:

• Зовнішні сили — сили, що діють з боку тіл, які не входять до системи, що розглядається. Рівнодійну зовнішніх сил, що діють на матеріальну точку з номером $i$, позначимо ${\overrightarrow{F}}_i$.
• Внутрішні сили — це сили, з якими взаємодіють одне з одним тіла самої системи. Силу, з якою на точку з номером $i$ діє точка з номером $k$ будемо позначати ${\overrightarrow{f}}_{i,k}$, а силу дії $i$-ої точки на $k$-ту точку — ${\overrightarrow{f}}_{k,i}$. Очевидно, що якщо $i=k$, то ${\overrightarrow{f}}_{i,k}=0.$

Використовуючи введені позначення, запишемо другий закон Ньютона для кожної з матеріальних точок, що розглядаються, у вигляді

$m_i{\overrightarrow{a}}_i={\overrightarrow{F}}_i+\sum _k{\overrightarrow{f}}_{i,k}.$

Враховуючи, що $m_i{\overrightarrow{a}}_i=m_i\frac{d{\overrightarrow{v}}_i}{dt}=\frac{d(m_i{\overrightarrow{v}}_i)}{dt}$, і підсумовуючи всі рівняння другого закону Ньютона, отримуємо:

$\sum _i\frac{d(m_i{\overrightarrow{v}}_i)}{dt}=\sum _i{\overrightarrow{F}}_i+\sum _i\sum _k{\overrightarrow{f}}_{i,k}.$

Вираз $\sum _i\sum _k{\overrightarrow{f}}_{i,k}$ є сумою всіх внутрішніх сил, що діють у системі. За третім законом Ньютона в цій сумі кожній силі ${\overrightarrow{f}}_{i,k}$ відповідає сила ${\overrightarrow{f}}_{k,i}$ така, що ${\overrightarrow{f}}_{i,k}=-{\overrightarrow{f}}_{k,i}$ і, отже, виконується ${\overrightarrow{f}}_{i,k}+{\overrightarrow{f}}_{k,i}=0.$ Оскільки вся сума складається з таких пар, то сама сума дорівнює нулю. Таким чином, можна записати

$\sum _i\frac{d(m_i{\overrightarrow{v}}_i)}{dt}=\sum _i{\overrightarrow{F}}_i.$

Використовуючи для кількості руху системи $\sum _i{m}_i{\overrightarrow{v}}_i$ позначення $\overrightarrow{P}$, отримаємо

$\frac{d\overrightarrow{P}}{dt}=\sum _i{\overrightarrow{F}}_i.$

Увівши зміну імпульсу зовнішніх сил $d\overrightarrow{R}=\sum _i{\overrightarrow{F}}_{i}dt$, отримаємо вираз теореми про зміну кількості руху системи в диференціальній формі:

$d\overrightarrow{P}=d\overrightarrow{R}.$

Таким чином, кожне з останніх отриманих рівнянь дозволяє стверджувати: зміна кількості руху системи відбувається тільки внаслідок дії зовнішніх сил, а внутрішні сили ніяк вплинути на цю величину не можуть.

Проінтегрувавши обидві частини отриманої рівності за довільно взятим проміжком часу між деякими $t_1$ і $t_2$, отримаємо вираз теореми про зміну кількості руху системи в інтегральній формі:

${\overrightarrow{P}}_2-{\overrightarrow{P}}_1=\overrightarrow{R}(t_2,t_1),$

де ${\overrightarrow{P}}_1$ і ${\overrightarrow{P}}_2$ — значення кількості руху системи в моменти часу $t_1$ і $t_2$ відповідно, а $\overrightarrow{R}(t_2,t_1)$ — імпульс зовнішніх сил за проміжок часу $t_2-t_1$. Відповідно до сказаного раніше та введених позначень, виконується

$\overrightarrow{R}(t_2,t_1)=\sum _i\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}{\overrightarrow{F}}_i(t)dt.$

Закон збереження кількості руху системи

З теореми про зміну кількості руху системи випливає, що за відсутності зовнішніх сил (замкнута система), а також за рівності суми всіх зовнішніх сил нулю виконується $d\overrightarrow{P}=0$ і ${\overrightarrow{P}}_2-{\overrightarrow{P}}_1=0$. Інакше кажучи, справедливе співвідношення

$\overrightarrow{P}=const.$

Отже, маємо висновок: Шаблон:Виписка Це твердження становить зміст закону збереження кількості руху системи.

Можливі випадки, коли сума зовнішніх сил нулю не дорівнює, але дорівнює нулю її проєкція на напрям. Тоді дорівнює нулю і зміна проєкції кількості руху системи на цей напрямок, тобто, як кажуть, зберігається кількість руху в цьому напрямку.

Випадок системи з ідеальними стаціонарними зв'язками

Шаблон:Mainref У тих випадках, коли предметом вивчення є лише рух системи, а реакції зв'язків не цікаві, користуються формулюванням теореми для системи з ідеальними стаціонарними зв'язками, яке виводиться з урахуванням принципу д'Аламбера — Лагранжа. Теорема про зміну кількості руху системи з ідеальними стаціонарними зв'язками стверджує: Шаблон:Виписка «Активні» стосовно сил (нижче у формулах їх позначено символом $a^{}$) означає «ті, що не є реакціями зв'язків».

Дійсно, за умовою, в будь-який момент усі точки системи допускають зміщення на $\delta x$ паралельно до нерухомої осі $x$. Замінюючи в загальному рівнянні динаміки $\delta {\overrightarrow{r}}_k$ на $\overrightarrow{i}\delta x$, отримуємо:

$(\sum m_k{\overrightarrow{w}}_k)\overrightarrow{i}\delta x=(\sum {\overrightarrow{F}}_k)\overrightarrow{i}\delta x$

або

$\frac{d}{dt}(\sum m_k{\overrightarrow{v}}_k)\overrightarrow{i}=(\sum {\overrightarrow{F}}_k)\overrightarrow{i}$

або

$\frac{d\overrightarrow{P}}{dt}\overrightarrow{i}=(\sum {\overrightarrow{F}}_k^a)\overrightarrow{i}$

остаточно знаходимо:

$\frac{d\overrightarrow{P}}{dt}=\sum {\overrightarrow{F}}_{kx}^{ea}$

У передостанньому рівнянні до суми активних сил ${\overrightarrow{F}}_k^a$ включено зовнішні активні та внутрішні активні сили. Однак геометрична сума внутрішніх активних сил, як попарно рівних та протилежних, дорівнює нулю, тому в остаточному рівнянні представлено лише зовнішні (введено додатковий значок $e^{}$ від Шаблон:Lang-en) активні сили.

Історія

Про закон збереження кількості руху Ісаак Ньютон у своїй знаменитій праці «Математичні начала натуральної філософії», виданій 1687 року, писав: «Кількість руху, одержувана беручи суму кількостей руху, коли вони здійснюються в один бік, і різницю, коли вони відбуваються в боки протилежні, не змінюється від взаємодії тіл між собою». Коментатор, у зв'язку з цим формулюванням, зазначає, що, хоча в ньому розглянуто лише випадок руху тіл уздовж однієї прямої, І. Ньютон, як показують його інші висловлювання в тій самій книзі, у своїх поглядах цим окремим випадком не обмежувався.

Див. також

• Теорема про рух центра мас системи
• Теорема про кінетичну енергію системи
• Теорема про зміну моменту імпульсу системи