Сила інерції

Си́ла іне́рції — сила спротиву тіла активній силі, яка намагається його прискорити.

$𝐅=-m𝐚$,

де $𝐅$ — сила інерції, m — маса тіла, $𝐚$ — прискорення тіла, яке здійснила зовнішня сила.

Сили інерції реальні, бо вони в неінерційній системі координат можуть здійснювати роботу.

Всі реально існуючи системи відліку неінерційні і у всіх них діють реальні пасивні сили інерції у повній відповідності з третім законом Ньютона.

Сила інерції в системі, що обертається

У системі, що обертається довкола осі, сила інерції набирає вигляд:

$(1)𝐅=-2m\mathit{\omega }\times 𝐯-m\mathit{\omega }\times (\mathit{\omega }\times 𝐫)-m\frac{d\mathit{\omega }}{dt}\times 𝐫$ ,

де $\mathit{\omega }$ кутова швидкість, а v швидкість об'єкта в системі, що обертається.
Перший доданок у формулі (1) називається силою Коріоліса, ця сила перпендикулярна до швидкості. Другий доданок — це відцентрова сила, а третій враховує кутове прискорення неінерційної системи координат.

Виведення формул виходячи з класичної механіки

Координати і радіус-вектор

Нехай ми маємо інерційну систему координат $\{x,y,z\}$, яку будемо вважати нерухомою і радіус-вектор від початку цієї системи координат до довільної точки простору позначимо великою буквою $𝐑$.
Одночасно будемо розглядати і рухому систему координат $\{x_1,x_2,x_3\}$, початок координат якої ${𝐑}_0$ рухається з часом:

$(2){𝐑}_0={𝐑}_0(t)$

а координатні вектори $\{{𝐚}_1,{𝐚}_2,{𝐚}_3\}$ якої утворюють ортонормований базис, який якось обертається з часом:

$(3){𝐚}_1={𝐚}_1(t),{𝐚}_2={𝐚}_2(t),{𝐚}_3={𝐚}_3(t)$

Радіус-вектор $𝐫$ відносно початку рухомої системи координат можна розкласти за цим базисом, коефіцієнтами розкладу будуть координати рухомої системи координат:

$(4)𝐫={𝐚}_1{x}_1+{𝐚}_2{x}_2+{𝐚}_3{x}_3=A𝐱$

Остання рівність — це запис формули (4) в матричній формі, матриця $A=A(t)$ складається з координат базисних векторів наступним чином:

$(5)A=\left({𝐚}_1{𝐚}_2{𝐚}_3\right)=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{1x}& a_{2x}& a_{3x}\\ a_{1y}& a_{2y}& a_{3y}\\ a_{1z}& a_{2z}& a_{3z}\end{array}\right]$

Як відомо з курсу лінійної алгебри, така матриця буде ортогональною, і обернена до неї матриця збігається з транспонованою. Дійсно, множачи матрицю $A$ зліва на її транспоновану $A^T$, одержимо матрицю Грамма, яка складається зі скалярних добутків:

$(6)A^{T}A=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{1x}& a_{1y}& a_{1z}\\ a_{2x}& a_{2y}& a_{2z}\\ a_{3x}& a_{3y}& a_{3z}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{a}_{1x}& a_{2x}& a_{3x}\\ a_{1y}& a_{2y}& a_{3y}\\ a_{1z}& a_{2z}& a_{3z}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}({𝐚}_1\cdot {𝐚}_1)& ({𝐚}_1\cdot {𝐚}_2)& ({𝐚}_1\cdot {𝐚}_3)\\ ({𝐚}_2\cdot {𝐚}_1)& ({𝐚}_2\cdot {𝐚}_2)& ({𝐚}_2\cdot {𝐚}_3)\\ ({𝐚}_3\cdot {𝐚}_1)& ({𝐚}_3\cdot {𝐚}_2)& ({𝐚}_3\cdot {𝐚}_3)\end{array}\right]$

а матриця Грамма дорівнює одиничній матриці оскільки наші базисні вектори взаємно ортогональні і мають одиничні довжини. Отже:

$(7)A^{-1}=A^T,A{A}^T=E=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

Підсумовуючи сказане, запишемо радіус-вектор довільної точки простору через координати рухомої системи координат:

$(8)𝐑=A𝐱+{𝐑}_0$

Швидкість

Продиференціюємо формулу (8) по часу:

$(9)\dot{𝐑}=\dot{A}𝐱+A\dot{𝐱}+{\dot{𝐑}}_0$

Позначимо через ${𝐯}_0$ швидкість руху початку координат:

$(10){𝐯}_0={\dot{𝐑}}_0$

Далі, середній доданок в формулі (8) є вектором швидкості точки з координатами $\{x_1(t),x_2(t),x_3(t)\}$ відносно рухомої системи координат, позначимо її буквою $𝐯$:

$(11)𝐯=A\dot{𝐱}={𝐚}_1\frac{d{x}_1}{dt}+{𝐚}_2\frac{d{x}_2}{dt}+{𝐚}_3\frac{d{x}_3}{dt}$

Залишилося розібратися з першим доданком у формулі (9). Очевидно, що похідна матриці $A$ має бути пропорційною вектору кутової швидкості $\mathit{\omega }$. Але як саме? Спробуємо записати таку матричну рівність:

$(12)\dot{A}=\mathrm{\Omega }A$

де $\mathrm{\Omega }$ — деяка матриця. Ясно, що ми завжди можемо записати (12), оскільки матриця $A$ невироджена і тому $\mathrm{\Omega }$ однозначно знаходиться за відомою матрицею $A$ та її похідною:

$(13)\mathrm{\Omega }=\dot{A}{A}^{-1}=\dot{A}{A}^T$

Ця матриця антисиметрична, оскільки:

$(14){\mathrm{\Omega }}^T=\left(\dot{A}{A}^T\right)=A{\dot{A}}^T=\frac{d}{dt}\left(A{A}^T\right)-\dot{A}{A}^T=-\mathrm{\Omega }$

В антисиметричній матриці третього порядку є лише $(N=C_n^2=C_3^2=3)$ три незалежні відмінні від нуля компоненти. Якщо ми їх позначимо наступним чином:

$(15)\mathrm{\Omega }=\left[\begin{array}{ccc}0& -{\omega }_z& {\omega }_y\\ {\omega }_z& 0& -{\omega }_x\\ -{\omega }_y& {\omega }_x& 0\end{array}\right]$

то дія такої матриці на вектор дорівнюватиме векторному добутку $\mathit{\omega }$ на цей вектор:

$(16)\mathrm{\Omega }𝐫=\left[\begin{array}{ccc}0& -{\omega }_z& {\omega }_y\\ {\omega }_z& 0& -{\omega }_x\\ -{\omega }_y& {\omega }_x& 0\end{array}\right]\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\omega }_{y}z-{\omega }_{z}y\\ {\omega }_{z}x-{\omega }_{x}z\\ {\omega }_{x}y-{\omega }_{y}x\end{array}\right)=\mathit{\omega }\times 𝐫$

Тепер формулу (9) ми можемо переписати так:

$(17){𝐯}_{abs}=\dot{𝐑}=\dot{A}𝐱+A\dot{𝐱}+{\dot{𝐑}}_0=\mathrm{\Omega }A𝐱+𝐯+{𝐯}_0=\mathit{\omega }\times 𝐫+𝐯+{𝐯}_0$

При записі останньої рівності ми скористалися формулами (4) і (16). Як бачимо, справжня (абсолютна швидкість) матеріальної точки складається з трьох доданків: швидкості $\mathit{\omega }\times 𝐫$, пов'язаної з обертанням рухомої системи координат; швидкості $𝐯$ відносно цієї системи координат; та поступальної швидкості ${𝐯}_0$ з якою рухається початок координат ${𝐑}_0$.

Прискорення

Продиференціюємо формулу (9) ще раз, одержимо:

$(18)\ddot{𝐑}=\ddot{A}𝐱+2\dot{A}\dot{𝐱}+A\ddot{𝐱}+{\ddot{𝐑}}_0$

Обчислимо спочатку перший доданок формули (18):

$(19)\ddot{A}𝐱=\frac{d}{dt}\left(\mathrm{\Omega }A\right)𝐱=\dot{\mathrm{\Omega }}A𝐱+\mathrm{\Omega }\left(\mathrm{\Omega }A\right)𝐱=\dot{\mathrm{\Omega }}𝐫+\mathrm{\Omega }\left(\mathrm{\Omega }𝐫\right)$

Переходячи від матричних позначень до векторних за формулою (16), знаходимо:

$(20)\ddot{A}𝐱=\dot{\mathit{\omega }}\times 𝐫+\mathit{\omega }\times (\mathit{\omega }\times 𝐫)$

Далі обчислюємо другий доданок, врахувавши формулу (11):

$(21)2\dot{A}\dot{𝐱}=2\mathrm{\Omega }A\dot{𝐱}=2\mathrm{\Omega }𝐯=2(\mathit{\omega }\times 𝐯)$

Третій доданок дорівнює прискоренню $𝐚$ відносно рухомої системи координат:

$(22)A\ddot{𝐱}={𝐚}_1\frac{d^2{x}_1}{d{t}^2}+{𝐚}_2\frac{d^2{x}_2}{d{t}^2}+{𝐚}_3\frac{d^2{x}_3}{d{t}^2}$

Нарешті останній доданок враховує поступальне прискорення ${𝐚}_0$ початку координат рухомої системи.

Сили

Ліва частина формули (18) є прискоренням ${𝐚}_{abs}$ в нерухомій (інерціальній) системі координат, а тому для цього прискорення ми можемо записати другий закон Ньютона:

$(23)𝐅=m{𝐚}_{abs}=m\ddot{𝐑}$

де $𝐅$ — рівнодійна усіх справжніх сил. З формул (18-23) одержуємо:

$(24)m𝐚=𝐅-m(\dot{\mathit{\omega }}\times 𝐫)-m(\mathit{\omega }\times (\mathit{\omega }\times 𝐫))-2m(\mathit{\omega }\times 𝐯)-m{𝐚}_0$

Вивід формул виходячи із загальної теорії відносності

Формула (1) є формулою класичної механіки, і її можна виводити не звертаючись до теорії відносності. Але вивід цієї (але вже уточненої) формули не складно зробити і в теорії відносності. Виходячи з принципу еквівалентності, в довільній (в тому числі криволінійній) системі координат, добуток маси матеріальної точки на прискорення дорівнює:

$(25)m\frac{d^2{x}^i}{d{\tau }^2}=-m{\mathrm{\Gamma }}_{jk}^i\frac{d{x}^j}{d\tau }\frac{d{x}^k}{d\tau }+F^i$

де $\tau$ — власний час матеріальної точки, перший доданок (з символами Крістофеля) в правій стороні формули (25) відповідає силам інерції та гравітації, а другий доданок — це реальні сили $F^i$.
Зосередимося на силах інерції, поклавши $F^i=0$, а також вважаючи простір-час плоским, тобто відсутня гравітація, яка виникає внаслідок викривлення простору-часу. В плоскому просторі-часі можна обрати інерційну декартову систему координат $\{x^0,x^1,x^2,x^3\}$, де перша координата напрямлена вздовж осі часу $x^0=ct$, а решта — це три просторові координати $x^1=x,x^2=y,x^3=z$
В цій системі координат метричний тензор є константою, тобто метрикою Мінковського:

$(26)(g_{ij})=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right]$

і всі символи Крістофеля дорівнюють нулю. В цій системі координат, згідно з (25), сили інерції дорівнюють нулю.
Розглянемо тепер іншу систему координат $\{{\hat{x}}^0,{\hat{x}}^1,{\hat{x}}^2,{\hat{x}}^3\}$, в ній символи Крістофеля дорівнюють:

$(27){\hat{\mathrm{\Gamma }}}_{jk}^i=-\frac{\partial x^p}{\partial {\hat{x}}^j}\frac{\partial x^q}{\partial {\hat{x}}^k}\frac{{\partial }^2{\hat{x}}^i}{\partial x^p\partial x^q}$

Чотиривимірні координати

Будемо вважати цю нову систему координат рухомою і декартовою щодо просторових координат, тобто функції переходу від рухомої до абсолютної системи координат $x^i=x^i({\hat{x}}^0,{\hat{x}}^1,{\hat{x}}^2,{\hat{x}}^3)$ даються формулами аналогічними (8):

$(28)x^0={\hat{x}}^0=ct$

$x^1=a_1^1{\hat{x}}^1+a_2^1{\hat{x}}^2+a_3^1{\hat{x}}^3+b^1$

$x^2=a_1^2{\hat{x}}^1+a_2^2{\hat{x}}^2+a_3^2{\hat{x}}^3+b^2$

$x^3=a_1^3{\hat{x}}^1+a_2^3{\hat{x}}^2+a_3^3{\hat{x}}^3+b^3$

де коефіцієнти $a_j^i,b^i$ (при $i,j=\{1,2,3\}$) залежать тільки від часу, тобто від нульової координати ${\hat{x}}^0=ct$:

$(29)a_j^i=a_j^i(t),b^i=b^i(t)$

і коефіцієнти $a_j^i$ разом утворюють тривимірну ортогональну матрицю. Підставляючи функції (28) в (27), ми можемо обчислити всі коефіцієнти Крістофеля, а отже і траєкторію руху матеріальної точки за формулою (25), не вдаючись до аналізу сил інерції.
Тут ми обчислимо тільки матрицю переходу $\frac{\partial x^i}{\partial {\hat{x}}^j}$ між цими системами координат, відокремлюючи часову координату від просторових:

$(30)\frac{\partial x^0}{\partial {\hat{x}}^0}=1,\frac{\partial x^0}{\partial {\hat{x}}^i}=0,\frac{\partial x^i}{\partial {\hat{x}}^j}=a_j^i$

$(31)\frac{\partial x^i}{\partial {\hat{x}}^0}=\frac{1}{c}(\sum _{k=1}^3{\dot{a}}_k^i{\hat{x}}^k+{\dot{b}}^i)=\frac{u^i}{c}$

В формулах (30), (31) індекси $i,j,k$ пробігають просторові компоненти $\{1,2,3\}$. У формулі (31) через $u^i$ позначено швидкість точок рухомої системи координат відносно нерухомої:

$(32)𝐮=\dot{A}\widehat{𝐱}+\dot{𝐛}=\mathrm{\Omega }(A𝐱)+{𝐯}_0=\mathrm{\Omega }𝐫+{𝐯}_0=\mathit{\omega }\times 𝐫+{𝐯}_0$

Тривимірний образ сил інерції

Величина з одним індексом:

$(33){\tilde{F}}^i=-m{\hat{\mathrm{\Gamma }}}_{jk}^i\frac{d{\hat{x}}^j}{d\tau }\frac{d{\hat{x}}^k}{d\tau }$

подібна до 4-вектора, але «неправильно» змінюються при заміні координат. Зафіксувавши нашу рухому систему координат ${\hat{x}}^i$, ми можемо розглянути два геометричні об'єкти: 4-вектор ${\tilde{F}}^i$ і тривимірну гіперповерхню (в даному разі це гіперплощина), яка залежить від трьох параметрів ${\hat{x}}^1,{\hat{x}}^2,{\hat{x}}^3$ при фіксованому часі $(x^0=const)$. Ми можемо ортогонально спроектувати ${\tilde{F}}^i$ на цю гіперповерхню, і одержати тривимірний вектор сили інерції. Координати цього вектора будуть виражатися через коваріантні координати псевдовектора

$(34)(\tilde{F}{)}_i=-{\hat{g}}_{ij}{\tilde{F}}^j$

Докладніше про це у статті «Тривимірні тензори всередині чотиривимірних». Отже маємо вираз сили інерції через символи Крістофеля з нижніми індексами:

$(35)(\tilde{F}{)}_i=m{\hat{\mathrm{\Gamma }}}_{jk,i}\frac{d{\hat{x}}^j}{d\tau }\frac{d{\hat{x}}^k}{d\tau }$

Цю формулу ми розглядаємо, обмежившись просторовими значеннями індексу $i=\{1,2,3\}.$ Символи Крістофеля обчислюються через метричний тензор за формулою:

$(36){\hat{\mathrm{\Gamma }}}_{jk,i}=\frac{1}{2}(\frac{\partial {\hat{g}}_{ik}}{\partial {\hat{x}}^j}+\frac{\partial {\hat{g}}_{ji}}{\partial {\hat{x}}^k}-\frac{\partial {\hat{g}}_{jk}}{\partial {\hat{x}}^i})$

Отже нам треба спочатку обчислити метричний ${\hat{g}}_{ij}$ тензор в рухомій системі координат.

Метрика в неінерційній системі відліку

Оскільки в абсолютній системі координат метричний тензор дорівнює метриці Мінковського (26), ми можемо за тензорними правилами перерахувати цей тензор в рухому систему координат:

$(37){\hat{g}}_{ij}=\frac{\partial x^k}{\partial {\hat{x}}^i}\frac{\partial x^l}{\partial {\hat{x}}^j}=\frac{\partial x^0}{\partial {\hat{x}}^i}\frac{\partial x^0}{\partial {\hat{x}}^j}-\sum _{k=1}^3\frac{\partial x^k}{\partial {\hat{x}}^i}\frac{\partial x^k}{\partial {\hat{x}}^j}$

Якщо обидва індекси $i,j$ набувають просторових значень $i=\{1,2,3\}$, то перший доданок дорівнюватиме нулю згідно з (30). Знаходимо:

$(38){\hat{g}}_{ij}=-\sum _{k=1}^3\frac{\partial x^k}{\partial {\hat{x}}^i}\frac{\partial x^k}{\partial {\hat{x}}^j}=-\sum _{k=1}^3{a}_i^k{a}_j^k=-(A^{T}A{)}_{ij}=-{\delta }_{ij}$

оскільки матриця $A$ ортогональна. Далі, знаходимо мішані просторово-часові компоненти метричного тензора, тут також перший доданок в правій частині формули (37) перетворюється в нуль:

$(39){\hat{g}}_{0i}=-\sum _{k=1}^3\frac{\partial x^k}{\partial {\hat{x}}^0}\frac{\partial x^k}{\partial {\hat{x}}^i}=-\sum _{k=1}^3\frac{u^k}{c}{a}_i^k=-\frac{1}{c}(A^{-1}𝐮{)}_i$

тобто дорівнюють компонентам швидкості $\frac{𝐮}{c}$ в рухомій системі координат. Нарешті, часова компонента метричного тензора дорівнює:

$(40){\hat{g}}_{00}={\left(\frac{\partial x^0}{\partial {\hat{x}}^0}\right)}^2-\sum _{k=1}^3{\left(\frac{\partial x^k}{\partial {\hat{x}}^0}\right)}^2=1-\frac{{𝐮}^2}{c^2}$

Формули (38-40) повністю описують метричний тензор, який ми тепер можемо зобразити у вигляді матриці:

$(41)({\hat{g}}_{ij})=\left[\begin{array}{cccc}1-\frac{{𝐮}^2}{c^2}& -\frac{u_x}{c}& -\frac{u_y}{c}& -\frac{u_z}{c}\\ -\frac{u_x}{c}& -1& 0& 0\\ -\frac{u_y}{c}& 0& -1& 0\\ -\frac{u_z}{c}& 0& 0& -1\end{array}\right]$

Користуючись метричним тензором ми можемо обчислити диференціал власного часу матеріальної точки:

$(42)c^2(d\tau {)}^2={\hat{g}}_{ij}d{\hat{x}}^{i}d{\hat{x}}^j=(1-\frac{{𝐮}^2}{c^2})(d{\hat{x}}^0{)}^2+2\sum _{i=1}^3(-\frac{u^i}{c})d{\hat{x}}^{0}d{\hat{x}}^i-\sum _{i=1}^3(d{\hat{x}}^i{)}^2=(c^2-(𝐮+𝐯{)}^2)d{t}^2$

$(43)d\tau =\sqrt{1-\frac{{𝐯}_{abs}^2}{c^2}}dt$

Продовження обчислень сил інерції

Розділимо суму в правій частині формули (35) на три доданки, відокремлюючи доданки з просторовими координатами від доданків з часовою координатою:

$(44)(\tilde{F}{)}_i=m{\hat{\mathrm{\Gamma }}}_{00,i}\frac{d{\hat{x}}^0}{d\tau }\frac{d{\hat{x}}^0}{d\tau }+2m\sum _{j=1}^3{\hat{\mathrm{\Gamma }}}_{0j,i}\frac{d{\hat{x}}^0}{d\tau }\frac{d{\hat{x}}^j}{d\tau }+m\sum _{j,k=1}^3{\hat{\mathrm{\Gamma }}}_{jk,i}\frac{d{\hat{x}}^j}{d\tau }\frac{d{\hat{x}}^k}{d\tau }$

Почнемо аналіз цієї формули з останнього доданка. Оскільки символи Крістофеля обчислюються за формулою (36), а просторова частина метричного тензора є константою (38), то символи Крістофеля перетворюються в нуль і останній доданок у формулі (44) зникає. Далі розглянемо середній доданок — він пропорційний швидкості а тому є силою Коріоліса. Знаходимо відповідний символ Крістофеля:

$(45){\hat{\mathrm{\Gamma }}}_{0j,i}=\frac{1}{2}(\frac{\partial {\hat{g}}_{ij}}{\partial {\hat{x}}^0}+\frac{\partial {\hat{g}}_{0i}}{\partial {\hat{x}}^j}-\frac{\partial {\hat{g}}_{0j}}{\partial {\hat{x}}^i})$

Перший доданок у формулі (45) дорівнює нулю внаслідок (38), а решта два доданки в сумі дають деяку тривимірну антисиметричну за індексами $\{ij\}$ матрицю. Ця матриця є по-перше, компонентами ротора векторного поля $𝐮$, обчисленими в рухомій системі координат; а по-друге, ця матриця з точністю до постійного множника $-1/c$ збігається з матрицею $\mathrm{\Omega }$ (формула (13)), але компоненти якої обчислені в рухомій системі координат:

$(46){\hat{\mathrm{\Gamma }}}_{0j,i}=\frac{1}{2}(\frac{\partial }{\partial {\hat{x}}^j}(-\frac{1}{c}{A}^T𝐮{)}_i-\frac{\partial }{\partial {\hat{x}}^i}(-\frac{1}{c}{A}^T𝐮{)}_j)=$

$=-\frac{1}{2c}(\frac{\partial }{\partial {\hat{x}}^j}(A^T\dot{A}\widehat{𝐱}+A^T\dot{𝐛}{)}_i-\frac{\partial }{\hat{\partial }{x}^i}(A^T\dot{A}\widehat{𝐱}+\dot{𝐛}{)}_i)=-\frac{1}{c}{\left(A^T\dot{A}\right)}_{ij}=-\frac{1}{c}{\left(A^T\mathrm{\Omega }A\right)}_{ij}$

Отже сила Коріоліса дорівнює:

$(47)(\tilde{F}{)}_i=2m\sum _{j=1}^3{\hat{\mathrm{\Gamma }}}_{0j,i}\frac{d{\hat{x}}^0}{d\tau }\frac{d{\hat{x}}^j}{d\tau }=-2m\frac{1}{c}\sum _{j=1}^3{\left(A^T\mathrm{\Omega }A\right)}_{ij}c(\frac{dt}{d\tau }{)}^2\frac{d{\hat{x}}^j}{dt}$

Враховуючи формулу (43), ми можемо записати цю формулу у векторному вигляді:

$(48){𝐅}_{Corr}=-\frac{2m(\mathit{\omega }\times 𝐯)}{1-\frac{{𝐯}_{abs}^2}{c^2}}$

Обчислимо, нарешті, перший доданок у формулі (44). Для цього знаходимо відповідний символ Крістофеля:

$(49){\hat{\mathrm{\Gamma }}}_{00,i}=\frac{1}{2}(2\frac{\partial {\hat{g}}_{0i}}{\partial {\hat{x}}^0}-\frac{\partial {\hat{g}}_{00}}{\partial {\hat{x}}^i})=\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}{(-\frac{1}{c}{A}^T𝐮)}_i-\frac{1}{2}\frac{\partial }{\partial {\hat{x}}^i}(1-\frac{{𝐮}^2}{c^2})$

Розпишемо докладніше обидва доданки цієї формули, підставляючи вираз для $𝐮$ із формули (32) і виконуючи диференціювання. Перший доданок дорівнює:

$(50)-\frac{1}{c^2}\frac{\partial }{\partial t}{|}_{\hat{x}=const}{(A^T(\dot{A}\widehat{𝐱}+\dot{𝐛}))}_i=-\frac{1}{c^2}{[{\dot{A}}^T(\dot{A}\widehat{𝐱}+\dot{𝐛})+A^T(\ddot{A}\widehat{𝐱}+\ddot{𝐛})]}_i$

а другий:

$(51)\frac{1}{2c^2}\frac{\partial }{\partial {\hat{x}}^i}(\dot{A}\widehat{𝐱}+\dot{𝐛}{)}^2=\frac{1}{c^2}{[{\dot{A}}^T(\dot{A}\widehat{𝐱}+\dot{𝐛})]}_i$

Як бачимо, доданок (51) знищується з першим доданком в правій частині формули (50). Отже для символу Крістофеля маємо:

$(52){\hat{\mathrm{\Gamma }}}_{00,i}=-\frac{1}{c^2}{(A^T(\ddot{A}\widehat{𝐱}+\ddot{𝐛}))}_i$

Враховуючи формулу (20), формула (52) є просто координатою (відносно рухомої системи координат) наступного тривимірного вектора:

$(54)-\frac{1}{c^2}(\dot{\mathit{\omega }}\times 𝐫+\mathit{\omega }\times (\mathit{\omega }\times 𝐫)+{𝐚}_0)$

Отже у векторному виді перший доданок (44) запишеться так:

$(55)m{\hat{\mathrm{\Gamma }}}_{00}\frac{d{\hat{x}}^0}{d\tau }\frac{d{\hat{x}}^0}{d\tau }=-\frac{m}{c^2}(\dot{\mathit{\omega }}\times 𝐫+\mathit{\omega }\times (\mathit{\omega }\times 𝐫)+{𝐚}_0){\left(c\frac{dt}{d\tau }\right)}^2=\frac{-m(\dot{\mathit{\omega }}\times 𝐫)-m(\mathit{\omega }\times (\mathit{\omega }\times 𝐫))-m{𝐚}_0}{1-\frac{{𝐯}_{abs}^2}{c^2}}$

Підставляючи (48) і (55) в формулу (44), і згадуючи, що третій доданок в правій частині (44) дорівнює нулю, одержуємо остаточний вираз для сил інерції:

$(56)\widetilde{𝐅}=\frac{-m(\dot{\mathit{\omega }}\times 𝐫)-m(\mathit{\omega }\times (\mathit{\omega }\times 𝐫))-2m(\mathit{\omega }\times 𝐯)-m{𝐚}_0}{1-\frac{{𝐯}_{abs}^2}{c^2}}$

Порівняємо цю формулу з формулою (24), одержаною в класичній механіці. Єдиною відмінністю є знаменник в (56), який враховує уповільнення часу (формула 43), що пов'язане з рухом матеріальної точки.

Цікаво, що в формулі (56) для системи координат, що обертається, знаменник може перетворитися в нуль або стати від'ємним. Адже далеко від осі обертання швидкість рухомої системи координат відносно нерухомої може перевищити швидкість світла. Ясно, що на таких відстанях не може існувати матеріального тіла, яке б рухалося разом із системою координат — в цьому разі і система координат, і сила (56) стають не більше ніж математичною абстракцією, що не має фізичного трактування.

Джерела

• Шаблон:Cite book, 516 с.