Теорема про вирізання

В алгебричній топології, галузі математики, теорема про вирізання є теоремою про відносну сингулярну гомологію, що є одним із базових результатів всієї теорії гомології. Зокрема твердження є однією з аксіом Ейленберга — Стінрода.

Для топологічного простору $X$ і підпросторів $A$ і $U$ таких, що $U$ також є підпростором $A,$ теорема стверджує, що за певних обставин можна видалити $U$ з обох просторів так, що відносні гомології пар $(X\setminus U,A\setminus U)$ і $(X,A)$ є ізоморфними.

Це допомагає в обчисленні сингулярних груп гомологій, оскільки іноді після вилучення відповідного обраного підпростору одержуються простори для яких обчислення гомологій є простішим.

Твердження

Якщо $U\subseteq A\subseteq X$ то кажуть, що $U$ можна вирізати, якщо відображення включення пари $(X\setminus U,A\setminus U)$ у пару $(X,A)$ породжує ізоморфізм відносних гомологій:

$H_n(X\setminus U,A\setminus U)\cong H_n(X,A)$

Теорема стверджує, що якщо замикання $U$ міститься у внутрішності $A,$ то $U$ можна вирізати.

Доведення

Спершу доведемо, що кожен елемент $H_{*}(X,A)$ є лінійною комбінацією сингулярних симплексів образи яких належать внутрішності $A$ або $X\setminus U.$

Для цього для довільного топологічного простору $X$ можна ввести для кожного n гомоморфізм $\psi :S_n(X)\to S_n(X),$ що для сингулярного симплекса $\lambda$ задається як:

$\psi (\lambda )=\lambda \circ \phi ,$

де $\phi$ позначає гомоморфізм, що переводить стандартний n-симплекс (який можна розглядати як елемент симпліційного ланцюгового комплексу) у суму n-симплексів одержаних барицентричним розбиттям стандартного симплекса із врахуванням їх орієнтації.

Гомоморфізм $\psi$ є ланцюговим відображенням. Справді:

$\partial \psi (\lambda )=\lambda \phi \partial =\sum (-1{)}^r\lambda \phi F^r=\sum (-1{)}^r(\lambda F^r)\phi =\psi \partial (\lambda ).$

У цих рівностях $F^r$ позначає вкладення r-ї грані у стандартний симплекс.

Також $\psi$ є ланцюгово гомотопним до тотожного відображення. Цей факт достатньо довести для довільного сингулярного симплекса $\lambda .$ Нехай $\lambda ({\mathrm{\Delta }}_n)\to X$ є сингулярним n-симплексом, де ${\mathrm{\Delta }}_n$ позначає стандартний симплекс. Потрібно знайти гомоморфізм $T:S_n(X)\to S_{n+1}(X)$ заданий для всіх n, для якого $\partial T+T\partial =\psi -1.$ Для задання такого гомоморфізму зручно розглянути ланцюговий комплекс $C_{*}({\mathrm{\Delta }}_n)$ елементами якого є афінні відображення із стандартних симплексів ${\mathrm{\Delta }}_k$ у стандартний симплекс ${\mathrm{\Delta }}_n$ з очевидним граничним відображенням. Тоді відображення $\lambda$ породжує ланцюгове відображення ${\lambda }_{*}:C_{*}({\mathrm{\Delta }}_n)\to S_{*}(X).$ Тому, якщо на $C_{*}({\mathrm{\Delta }}_n)$ можна задати ланцюгову гомотопію $T^{\prime }$ між гомоморфізмом поділу $\phi$ і тотожним гомоморфізмом (тобто $\partial T^{\prime }+T^{\prime }\partial =\phi -1$ на множині афінних сингулярних симплексів), тоді для тотожного відображення $1_{{\mathrm{\Delta }}_n}$ можна ввести $T(\lambda )={\lambda }_{*}(T^{\prime }(1_{{\mathrm{\Delta }}_n})).$ Застосувавши відображення ${\lambda }_{*}$ до рівності $\partial T^{\prime }+T^{\prime }\partial =\phi -1$ звідси одержується необхідна рівність $\partial T(\lambda )+T\partial \lambda =\psi (\lambda )-\lambda .$

Для задання відображення $T^{\prime }$ спершу можна зауважити, що всі афінні сингулярні симплекси на ${\mathrm{\Delta }}_n$ однозначно визначаються образами вершин відповідних стандартних симплексів. Якщо $\mu :{\mathrm{\Delta }}_k\to {\mathrm{\Delta }}_n$ є афінним сингулярним симплексом у ${\mathrm{\Delta }}_n$ і a є довільною точкою ${\mathrm{\Delta }}_n$ позначимо $a\mu :{\mathrm{\Delta }}_{k+1}\to {\mathrm{\Delta }}_n$ афінний сингулярний симплекс при якому образом першої вершини ${\mathrm{\Delta }}_{k+1}$ є a, а образами наступних вершин є відповідні образи вершин ${\mathrm{\Delta }}_k$ при відображенні $\mu .$ Цю конструкцію можна продовжити і на формальні суми афінних сингулярних симплексів. Нехай також b позначає барицентр симплекса ${\mathrm{\Delta }}_n.$

З цими позначеннями $T^{\prime }$ задається індуктивно по $m$ у $C_m({\mathrm{\Delta }}_n).$ Для $m=0$ за означенням $T^{\prime }:C_0({\mathrm{\Delta }}_n)\to C_0({\mathrm{\Delta }}_n)$ є нульовим гомоморфізмом. Якщо $T^{\prime }$ є задано на всіх $C_k({\mathrm{\Delta }}_n)$ для k < m і $\mu \in C_m({\mathrm{\Delta }}_n),$ то за означенням:

$T^{\prime }(\mu )=b(\phi (\mu )-\mu -T^{\prime }\partial (\mu )).$

Тоді

$\partial T^{\prime }(\mu )=(\phi (\mu )-\mu -T^{\prime }\partial (\mu ))-b\partial (\phi (\mu )-\mu -T^{\prime }\partial (\mu )).$

Але (із врахуванням індукції):

$\partial (\phi (\mu )-\mu -T^{\prime }\partial (\mu ))=[\partial \phi -\partial -(\phi -1-T^{\prime }\partial )\partial ]\mu =0$

оскільки $\phi \partial =\partial \phi$ і $\partial \partial =0.$ Тому остаточно:

$\partial T^{\prime }(\mu )=\phi (\mu )-\mu -T^{\prime }\partial (\mu ),$

тобто $T^{\prime }$ і як наслідок $T$ є ланцюговими гомотопіями.

Далі $\psi$ можна продовжити до ланцюгового відображення $\psi :S_n(X,A)\to S_n(X,A),$ що є ланцюгово гомотопною до тотожного відображення. Також відображення $\psi$ можна застосовувати повторно.

Оскільки за умовами теореми внутрішності $A$ і $X\setminus U$ утворюють відкрите покриття простору $X,$ то для довільного сингулярного симплекса $\lambda$ прообрази цих множин при відображенні $\lambda$ утворюють відкрите покриття стандартного симплекса. Оскільки при барицентричному розбитті діаметр одержаних симплексів строго зменшується, то згідно леми Лебега для деякого r при застосуванні процесу барицентричного розбиття r разів усі одержані симплекси належать якомусь із двох елементів відкритого покриття стандартного симплекса. Тоді ${\psi }^r(\lambda )$ є лінійною комбінацією сингулярних n-симплексів образ кожного із яких належать внутрішності $A$ або $X\setminus U.$ Також очевидно для скінченної кількості сингулярних симплексів $\lambda$ можна підібрати r єдине для всіх симплексів.

Нехай тепер $x\in H_n(X,A)$ і $z\in Z_n(X,A)$ є представником цього елемента. Оскільки $\psi$ є ланцюгово гомотопним до тотожного відображення, то для кожного r елементи $z$ і ${\psi }^r(z)$ відрізняються на граничний елемент і всі ${\psi }^r(z)$ теж є представниками $x.$ Із попереднього, для достатньо великого r елемент ${\psi }^r(z)$ є лінійною комбінацією сингулярних симплексів образи яких належать або $A$ або $X\setminus U$ (навіть їх внутрішностям). Але тоді ${\psi }^r(z)\in Z_n(X\setminus U,A\setminus U).$ Це доводить, що $i_{*}:H_n(X\setminus U,A\setminus U)\to H_n(X,A)$ є сюр'єкцією.

З іншого боку нехай $z\in Z_n(X\setminus U,A\setminus U)$ і $i_{*}(z)\in B(X,A).$ Тоді z як сума сингулярних симплексів у $X$ є рівною $\partial x+y,$ де $x\in S_{n+1}(X),y\in S_n(A).$ Нехай для r елемент ${\psi }^r(x)$ є лінійною комбінацією сингулярних сиплексів образи яких є у $A$ або $X\setminus U,$ тобто ${\psi }^r(x)=a+b,$ де $a\in S_{n+1}(A),b\in S_{n+1}(X\setminus U).$

Тому ${\psi }^r(z)={\psi }^r(\partial x)+{\psi }^r(y)$ і ${\psi }^r(z)-\partial b=\partial a+{\psi }^r(y).$

Але ${\psi }^r(z)-\partial b\in S_n(X\setminus U)$ і $\partial a+{\psi }^r(y)\in S_n(A)$ тому ці елементи належать $S_n(A\setminus U).$ Як наслідок ${\psi }^r(z)=\partial b+(\partial a+{\psi }^r(y))$ належить $B_n(X\setminus U,A\setminus U)$ і тому ${\psi }^r(z)$ і тому z є представником нульового елемента у $H_n(X\setminus U,A\setminus U).$ Тому $i_{*}:H_n(X\setminus U,A\setminus U)\to H_n(X,A)$ є ін'єктивним відображенням.

Див. також

• Ланцюгова гомотопія
• Лема Лебега
• Сингулярні гомології

Література

• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation