Теорема Рунге

Теорема Рунге (також апроксимаційна теорема Рунге) в комплексному аналізі  — твердження про можливість рівномірного наближення голоморфної функції раціональними функціями або многочленами. Доведена німецьким математиком Карлом Рунге у 1885 році.

Формулювання

Позначимо $\widehat{ℂ}=ℂ\cup \{\mathrm{\infty }\}.$ Нехай $K\subset ℂ$  — компактна підмножина і $f(z)$ голоморфна функція в визначена на відкритій множині, що містить $K.$ Якщо $A$  — множина, що містить по одній точці з кожної компоненти зв'язності множини $\widehat{ℂ}\setminus K,$ для кожного $\epsilon >0$ існує раціональна функція, що має полюсами в множині $A$ і для якої $\underset{z\in K}{\sup }|f(z)-r(z)|<\epsilon$.

Звідси зокрема випливає, що при тих же умовах і позначеннях, що і вище для функції $f(z)$ існує послідовність функцій $f_i(z),$ що рівномірно на $K$ збігаються до $f(z).$

Якщо $U\subset ℂ$ — відкрита множина то також довільна голоморфна на $U$ функція $f(z)$ може бути рівномірно на компактних підмножинах наближеною раціональними функціями.

Наслідки

• Якщо $K\subset ℂ$ і множина $\widehat{ℂ}\setminus K,$ є зв'язною то взявши $A=\mathrm{\infty }$ з теореми Рунге можна отримати наступний результат, який теж часто називається теоремою Рунге:

Якщо при вказаних умовах функція $f(z)$ є голоморфною на відкритій множині, що містить $K$ тоді для кожного $\epsilon >0$ існує многочлен $p(z)$, для якого $\underset{z\in K}{\sup }|f(z)-p(z)|<\epsilon$.

• Дане твердження може бути перефразованим для відкритих зв'язних множин $U\subset ℂ$ таких, що $\widehat{ℂ}\setminus U$ є зв'язною множиною. В цьому випадку $f(z)$ рівномірно наближається поліномами на всіх компактних підмножинах в $U.$ Множина $U$ є зв'язною разом із своїм доповненням $\widehat{ℂ}\setminus U$ тоді і тільки тоді, коли множина $U$ є однозв'язною. Натомість якщо взяти $U=ℂ\setminus \{0\}$ то функцію $f(z)=\frac{1}{z}$ не можна апроксимувати на компактах многочленами.

Тому можна перефразувати попередні результати як: для зв'язної множин $U\subset ℂ$ довільну голоморфну на $U$ функцію $f(z)$ можна наблизити многочленами рівномірно на компактах тоді і тільки тоді коли множина $U$ є однозв'язною.

Посилання

• Шаблон:Springer

Джерела

• Шаблон:Citation