Теорема Піка (комплексний аналіз)

Теорема Піка, або теорема Шварца — Піка — інваріантне формулювання та узагальнення леми Шварца.

Формулювання

Нехай $w = f (z)$ — регулярна аналітична функція з одиничного круга в одиничний круг

Q = {z \in ℂ : | z | < 1}; f : Q \to Q .

Тоді для будь-яких точок $z_{1}$ і $z_{2}$ круга $Q$ відстань у конформно-евклідовій моделі гіперболічного простору між їх образами не перевищує відстані між ними:

d (w_{1}, w_{2}) \leq d (z_{1}, z_{2}), w_{1} = f (z_{1}), w_{2} = f (z_{2})

.

Більш того, рівність досягається тільки в тому випадку, коли $w = f (z)$ є дробово-лінійною функцією, яка відображає коло $Q$ на себе.

Оскільки

t h [\frac{1}{2} \cdot d (z, w)] = \frac{| z - w |}{| 1 - \overline{z} \cdot w |},

умова

d (w_{1}, w_{2}) ⩽ d (z_{1}, z_{2})

еквівалентна такій нерівності:

| \frac{f (z_{1}) - f (z_{2})}{1 - \overline{f (z_{1})} f (z_{2})} | ⩽ \frac{| z_{1} - z_{2} |}{| 1 - \overline{z_{1}} z_{2} |} .

Якщо $z_{1}$ і $z_{2}$ нескінченно близькі, вона перетворюється на

\frac{| f^{'} (z) |}{1 - {| f (z) |}^{2}} ⩽ \frac{1}{1 - {| z |}^{2}} .