Теорема Машке

В математиці, теорема Машке, — теорема в теорії представлень груп щодо розкладу представлень скінченних груп на незвідні представлення. Теорема Машке дозволяє робити висновки про представленя скінченних груп G без їх обчислень. Вона зводить задачу класифікації всіх представлень до задачі класифікації незвідних представлень, на пряму суму яких розкладається довільне представлення.

Твердження

Мовою теорії груп

Якщо Шаблон:Var є представленням групи Шаблон:Var над полем Шаблон:Var характеристика якого не ділить порядок групи Шаблон:Var і Шаблон:Var є підпростором інваріантним щодо представлення, тоді існує інший підпростір Шаблон:Var у Шаблон:Var, що є інваріантим щодо представлення і Шаблон:Var=Шаблон:Var⊕Шаблон:Var.Шаблон:SfnШаблон:Sfn

Як наслідок для довільного представлення групи Шаблон:Var над полем характеристика якого не ділить порядок групи Шаблон:Var, векторний простір Шаблон:Var є прямою сумою підпросторів обмеження представлення на які є незвідними представленнями.Шаблон:SfnШаблон:Sfn

Мовою теорії модулів

При цьому підході до представлень скінченних груп, представлення групи G замінюється модулем над її груповою алгеброю K[G] (точніше існує ізоморфізм категорій між K[G]-Mod і Rep_G). Незвідні представлення при цьому відповідають простим модулям. Тоді теорему Машке можна сформулювати так:

Нехай G — скінченна група і K поле характеристика якого не ділить порядок групи Шаблон:Var. Тоді K[G], групова алгебра групи G, є напівпростою. Як наслідок кожен модуль над K[G] є напівпростим модулем.

Оскільки для будь-якого представлення групи простір представлення можна вважати модулем множення елементів групи на якому визначається дією лінійного оператора в представленні групи, то попереднє формулювання теореми є наслідком формулювання для модулів і групових алгебр.

Цей варіант твердження дозволяє застосувати для вивчення представлень теорію напівпростих кілець, зокрема теорему Артіна - Веддерберна. Коли K є полем комплексних чисел, звідси випливає, що алгебра K[G] є добутком кількох копій комплексних матричних алгебр, по одній для кожного незвідного представлення. Кількість цих незвідних представлень при цьому рівна кількості класів спряженості групи. Якщо поле K має характеристику рівну нулю, але не є алгебрично замкнутим, наприклад, K є полем дійсних чи раціональних чисел, тоді групова алгебра K[G] є добутком матричних алгебр над деякими тілами над K. Доданки при цьому знову ж відповідають незвідним представленням групи G над K.

Доведення

Нехай V — K[G]-підмодуль. Доведемо, що V є прямим доданком. Нехай $\pi$ — довільна K-лінійна проєкція K[G] на V. Розглянемо відображення $\phi :K[G]\to V$ задане як (зауважимо, що для можливості задання цього відображення критичним є те, що $\mathrm{\#}G$ не є рівним нулю у полі K; це є наслідком умови на характеристику поля і порядок групи):

$\phi (x)=\frac{1}{\mathrm{\#}G}\sum _{s\in G}s\cdot \pi (s^{-1}\cdot x).$

Тоді відображення $\phi$ є очевидно K-лінійним і відображає K[G] на V. Також для довільних $x\in V,s\in G$ маємо $\pi s^{-1}x=s^{-1}x$. Звідси для $x\in V$ отримуємо $\phi (x)=\frac{1}{\mathrm{\#}G}\sum _{s\in G}s\cdot \pi (s^{-1}\cdot x)=\frac{1}{\mathrm{\#}G}\sum _{s\in G}x=x$, тобто відображення є тотожним на V. Крім того маємо

$\begin{array}{cc}\phi (t\cdot x)& =\frac{1}{\mathrm{\#}G}\sum _{s\in G}s\cdot \pi (s^{-1}\cdot t\cdot x)\\ & =\frac{1}{\mathrm{\#}G}\sum _{u\in G}t\cdot u\cdot \pi (u^{-1}\cdot x)\\ & =t\cdot \phi (x),\end{array}$

тому $\phi$ є також K[G]-лінійним. Отож $\phi$ є K[G]-лінійною проєкцією і тому $K[G]=V\oplus \ker \phi$. Тобто довільний підмодуль K[G] є прямим доданком, тож, K[G] є напівпростою алгеброю.

Приклади

• Нехай $G=S_n$ — симетричній групі перестановок n елементів. Для цієї групи існує природне представлення у n-вимірному векторному просторі над довільним полем. Це відображення задане так: якщо $\{e_1,\dots ,e_n\}$ — базис такого простору, то лінійний оператор для перестановки $\sigma$ діє як $\sigma (e_i)=e_{\sigma (i)}$.

Очевидно, що одновимірний простір породжений вектором $e_1+e_2+\dots +e_n$ буде інваріантним щодо вказаного представлення. Його доповненням буде простір породжений векторами $e_1-e_2,e_2-e_3,\dots ,e_{n-1}-e_n$.

• Доведена теорема є у загальному випадку невірною для нескінченних груп. Прикладом може бути нескінченна циклічна група — адитивна група цілих чисел. Відображення $\varphi$, яке числу k ставить у відповідність матрицю $\mathrm{\Phi }(k)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ k& 1\end{array}\right)$ , є двовимірним представленням цієї групи, оскільки $\mathrm{\Phi }(k)\mathrm{\Phi }(m)=\mathrm{\Phi }(k+m)$. Одновимірний підпростір породжений вектором $\{e_2\}$ є інваріантним відносно всіх операторів $\mathrm{\Phi }(k)$, але для нього не знайдеться інваріантного доповнюючого підпростору, оскільки двовимірний простір V представлення $\varphi$ не має ніяких інших підпросторів, інваріантних відносно $\varphi$. Справді, власні значення усіх матриць $\mathrm{\Phi }(k)$ рівні 1 і всі власні вектори є колінеарними $e_2$. Натомість для теореми існують узагальнення для деяких типів нескінченних груп, наприклад для компактних топологічних груп.
• Умова на характеристику поля K є необхідною. Більш того, якщо характеристика поля K ділить порядок групи G то K[G] не є напівпростою алгеброю.

Для $x=\sum _{g\in G}{\lambda }_{g}g\in K[G]$ визначимо $ϵ(x)=\sum _{g\in G}{\lambda }_g$. Нехай $I=\ker ϵ$. тоді I є K[G]-підмодулем. Доведемо, що для кожного нетривіального підмодуля V алгебри K[G], $I\cap V\ne 0$. Нехай V — деякий підмодуль, і нехай $v=\sum _{g\in G}{\mu }_{g}g$ - довільний ненульовий елемент у V. Якщо$ϵ(v)=0$, то відразу $v\in I\cap V$. В іншому випадку, нехай $s=\sum _{g\in G}1g$. Тоді $ϵ(s)=\mathrm{\#}G\cdot 1=0$, тож $s\in I$ і $sv=(\sum 1g)(\sum {\mu }_{g}g)=\sum ϵ(v)g=ϵ(v)s$, тож $sv$ є ненульовим елементом I і V. Це доводить, що V не є прямий доповненням I для всіх V, тож K[G] не є напівпростою алгеброю.

Див. також

• Лема Шура
• Напівпростий модуль
• Теорема Веддерберна — Артіна

Література

• Пилипів В. М. Теорія представлень груп та її застосування(навчальний посібник). — Івано-Франківськ: ВДВ ЦІТ Прикарпатського національного університету імені Василя Стефаника, 2008. — 156 с.
• Fulton, William; Harris, Joe (1991), Representation theory. A first course, Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics, 129, New York: Springer-Verlag, MR1153249, ISBN 978-0-387-97527-6, ISBN 978-0-387-97495-8.
• James, Gordon; Liebeck, Martin (2001). Representations and Characters of Groups (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-00392-X.
• Serre, Jean-Pierre (1977). Linear Representations of Finite Groups. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90190-6.