Теорема Діріхле про оборотні елементи

Теорема Діріхле про оборотні елементи — теорема алгебраїчної теорії чисел, що описує підгрупу оборотних елементів (які також називаються одиницями) кільця алгебраїчних цілих чисел ${𝒪}_K$ числового поля $K$.

Формулювання

Нехай $K$ — числове поле (тобто скінченне розширення $\mathbb{Q}$), а ${𝒪}_K$ — його кільце цілих чисел і ${𝒪}_K^{*}$ — група його оборотних елементів. Тоді ${𝒪}_K^{*}$ є ізоморфною скінченнопородженій абелевій групі ${\mathbb{Z}}^d\times G$, де $G$ — циклічна група коренів одиниці, що належать $K$, а $d=r+s-1$, де $r$ — число різних вкладень $K$ в поле дійсних чисел $ℝ$, а $s$ — число пар комплексно-спряжених різних вкладень в $ℂ$, які не є дійсними.

Наслідки і узагальнення

Зокрема, оскільки для розширення степеня Шаблон:Mvar, $r+2s=n$, то $d\le n-1$, і рівність виконується тоді і тільки тоді, коли всі вкладення $K$ в $ℂ$ є вкладення в поле дійсних чисел.

Існування нетривіальних цілих розв'язків рівняння Пелля $x^2-m{y}^2=1$ випливає з теореми, застосованої до $\mathbb{Q}(\sqrt{m})$ - квадратичного розширенню $\mathbb{Q}$.

Випадок групи оборотних елементів максимального рангу пов'язаний з багатовимірними ланцюговими дробами.

Доведення

Впорядкуємо всі вкладення числового поля $K$ в поле комплексних чисел $ℂ$ так, що перші $r$ вкладень ${\sigma }_1,\dots ,{\sigma }_r$ є вкладеннями у поле дійсних чисел, а ${\sigma }_i$ і ${\sigma }_{i+s}$ для всіх $r+1⩽i⩽r+s$ є парами комплексно спряжених вкладень, що не є дійсними. Також введемо вкладення $K\to {ℝ}^n$ задане як $\alpha \to ({\sigma }_1(\alpha ),\dots ,{\sigma }_r(\alpha ),\mathrm{\Re }({\sigma }_{r+1}(\alpha )),\dots ,\mathrm{\Re }({\sigma }_{r+s}(\alpha )),\mathrm{\Im }({\sigma }_{r+1}(\alpha )),\dots ,\mathrm{\Im }({\sigma }_{r+s}(\alpha )))$.

Відображення $L:{𝒪}_K^{*}\to {ℝ}^{r+s}$ задане як $\alpha \mapsto (\log |{\sigma }_1(\alpha )|,\cdots ,\log |{\sigma }_r(\alpha )|,2\log |{\sigma }_{r+1}(\alpha )|,\dots ,2\log |{\sigma }_{r+s}(\alpha )|)$ є гомоморфізмом із ${𝒪}_K^{*}$ у гіперплощину $Y_1+\dots +Y_{r+s}=0$ в ${ℝ}^{r+s}$ (позначимо її $Y$). Його ядро складається з елементів ${𝒪}_K^{*}$ для яких $|\sigma (\alpha )|=1$ для всіх вкладень $\sigma$. У стандартній топології на $K$ ядро є обмеженою підмножиною дискретної множини ${𝒪}_K^{*}$ і тому є скінченною підгрупою. Якщо її порядок є рівним $N$ то кожен його елемент є коренем одиниці N-ого степеня. То ядро є циклічною групою оскільки воно є підгрупою циклічної групи всіх коренів з одиниці степеня $N$.

Залишається довести, що образ відображення $L$ є ґраткою у гіперплощині $Y$. Нехай $𝒩$ — обмежений окіл початку координат у гіперплощині $Y$. Для точок ${𝒪}_K^{*}$ що відображаються у $𝒩$ всі $|\sigma (\alpha )|$ є обмеженими, тож у стандартній топології вони належать перетину ${𝒪}_K^{*}$ і деякої обмеженої множини. Тому їх кількість є скінченною. Як наслідок образ відображення $L$ є дискретною підмножиною у гіперплощині $Y$.

Необхідно довести, що лінійною оболонкою цього образу є вся гіперплощина $Y$. Для доведення цього факту достатньо довести твердження:

Для довільних дійсних чисел ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_{r+s}$ що не є всі рівними між собою, існує елемент $\nu \in {𝒪}_K^{*}$ для якого $f(\nu )=\sum _{i=1}^r{\lambda }_i\log |{\sigma }_i(\nu )|+2\sum _{i=r+1}^{r+s}{\lambda }_i\log |{\sigma }_i(\nu )|\ne 0$.

Нехай ${\rho }_1,\dots ,{\rho }_{r+s}$ — додатні дійсні числа, такі що $\prod _{i=1}^{r+s}{\rho }_i=\left(\frac{2}{\pi }\right)\sqrt{|d|}=A$, де d є дискримінантом поля K. Множина $S\subset {ℝ}^n$ задана нерівностями $X_i⩽{\rho }_i$, для $1⩽i⩽r$, i $|X_i^2+X_{i+s}^2|⩽{\rho }_i$ для $r<i⩽r+s$ є обмеженою, замкнутою, опуклою і симетричною щодо початку координат; її об'єм є рівним $2^{r+s}\sqrt{|d|}$. Згідно теореми Мінковського існує ненульове ціле число у полі $K$ для якого $|{\sigma }_i(\alpha )|⩽{\rho }_i$ для всіх вкладень. Тоді також з означень ${\mathrm{Norm}}_{K/\mathbb{Q}}(\alpha )⩽A$.

Оскільки також ${\mathrm{Norm}}_{K/\mathbb{Q}}(\alpha )⩾1$, то

$|{\sigma }_i(\alpha )|={\mathrm{Norm}}_{K/\mathbb{Q}}(\alpha )\cdot \prod _{j\ne i}|{\sigma }_i(\alpha ){|}^{-1}⩾\prod _{j\ne i}{\rho }_j=A^{-1}{\rho }_i,1⩽i⩽r$

і подібним чином

$|{\sigma }_i(\alpha ){|}^2=|X_i^2+X_{i+s}^2|⩾A^{-1}{\rho }_{i}r<i⩽r+s$.

Зважаючи на ці обмеження $0⩽\log {\rho }_i-\log |{\sigma }_i(\alpha )|⩽\log A,1⩽i⩽r$і $0⩽\log {\rho }_i-2\log |{\sigma }_i(\alpha )|⩽\log A,r<i⩽r+s$. І зокрема $\sum _{i=1}^{r+s}{\lambda }_i\log {\rho }_i-f(\alpha )⩽(\log A)\sum |{\lambda }_i|$.

Назвемо ${\alpha }_l,{\alpha }_2\in {𝒪}_K$ еквівалентними якщо ${\alpha }_l/{\alpha }_2$ є елементом ${𝒪}_K^{*}$. Елементи у класі еквівалентності породжують певний головний ідеал і з точністю до знаку їхня норма є нормою цього головного ідеалу. Тож існує лише скінченна кількість класів еквівалентності норми яких є обмеженими $A$. Нехай ${\beta }_1,\dots ,{\beta }_n$ — представники цих класів. Введений вище елемент $\alpha$ лежить в одному з таких класів, тож $\nu =\alpha /{\beta }_i$, є оборотним елементом для деякого i.

Але $f(\nu )=f(\alpha )-f({\beta }_i)$ і це відрізняється від $\sum _{i=1}^{r+s}{\lambda }_i\log {\rho }_i$ щонайбільше на $B=|f({\beta }_i)|+(\log A)\sum |{\lambda }_i|$, що не залежить від чисел $\rho$. Можна обрати $\rho$ так щоб на додачу до попередніх умов також $|\sum _{i=1}^{r+s}{\lambda }_i\log {\rho }_i|>B$. Тоді $f(\nu )\ne 0.$

Література

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Citation