Теорема Мінковського

Теорема Мінковського про опукле тіло  - один із найбільш фундаментальних результатів теорії чисел, основа геометричної теорії чисел. Теорема була доведена в 1896 році німецьким математиком Германом Мінковським в його фундаментальній роботі "Геометрія чисел".

Формулювання

Нехай L - ґратка, визначинк якої дорівнює $det(L)$ та S - опукла симетрична підмножина простору ${ℝ}^n$. Теорема Мінковського стверджує, що якщо міра множини S більша за $2^n\det (L)$, тоді існує ненульовий елемент $l\in L\cap S$.

Застосування теореми

У теорії чисел теорему застосовують, щоб пов'язати локальні властивості певної алгебраїчної сисетми із її глобальними властивостями. Класичною ілюстрацією таких міркувань є теорема Ферма про суму двох квадратів.

Теорема Ферма

Нехай $p$ - просте натуральне число. Існує пара чисел $(a,b)\in {\mathbb{Z}}^2$ така що $p=a^2+b^2$ тоді й лише тоді, коли $p\equiv 1mod4$.

Доведення

Нехай $p=a^2+b^2$, тоді $-1$ є квадратом в полі $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$. Обчислюючи значення символу Лежандра для $-1$, маємо $(-1{)}^{\frac{p-1}{4}}=1$. Таким чином, обов'язково виконується рівність $p\equiv 1mod4$.

У зворотньому напрямку, припустимо що $p\equiv 1mod4$. Тоді $-1$ є квадратом в полі $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$, тож існує $u\in \mathbb{Z}$, таке що $u^2\equiv 1modp$. Розглянемо ґратку $L=\{(a,b)\in {\mathbb{Z}}^2\mid a\equiv ubmodp\}$ та відкритий диск $D$ радіусу $\sqrt{2p}$. Диск є опуклою симетричною множиною та його міра задовольняє нерівності $\mu (D)\ge 4\det (L)$. Таким чином, для ґратки $L$ та диска $D$ справедлива теорема Мінковського. Відтак, за теоремою існує ненульовий вектор $(a,b)\in L\cap D$. Оскільки $(a,b)\in D$, то має місце нерівність $a^2+b^2<2p$. Одночасно $p\mid a^2+b^2$, так як $(a,b)\in L$. Таким чином, $p=a^2+b^2$.

Пов'язані результати

Зазначимо, що теорема Мінковського не тільки доводить існування розкладу в суму двох квадратів для простих чисел конгруентних одиниці по модулю чотири, але й надає практичний спосіб знаходження даного розкладу. Дійсно, така пара чисел $(a,b)\in {\mathbb{Z}}^2$ є найкоротшим вектором ґратки $L$. Отже, можна застосувати алгоритми пошуку найкоротшого вектору в ґратках. У цьому випадку $L$ - це ґратка розмірності $2$, тож розклад в суму двох квадратів можна знайти за допомогою алгоритму Гауса--Лагранжа.

Застосовуючи квадратичний закон взаємності разом із теоремою Мінковського можна довести інші цікаві теореми теорії чисел.

Просте непарне число $p$ можна розкласти як $a^2+2b^2$ для певної пари $(a,b)\in {\mathbb{Z}}^2$ тоді й лише тоді, коли $p\equiv 1,3mod8$.

Просте число $p\ne 3$ можна розкласти як $a^2+3b^2$ тоді й лише тоді, $p\equiv 1mod3$.

Узагальнення

Узагальненням теореми Мінковського на неопуклі множини є теорема Вліхфельдта.

Див. також

• Список об'єктів, названих на честь Германа Мінковського
• Ґратка_(геометрія)
• Квадратичний закон взаємності