Теорема Акідзукі — Хопкінса — Левицького

У абстрактній алгебрі теоремою Акідзукі — Хопкінса — Левицького (також теоремою Хопкінса — Левицького) називають декілька пов'язаних результатів про властивості нетерівських і артінових кілець і модулів. Теореми є справедливими для загальних (не обов'язково комутативних) кілець з одиницею.

Теореми названі на честь Чарльза Хопкінса і Якова Левицького, які довели їх у 1939 році і Ясуо Акідзукі, який одержав цей результат у 1935 році для комутативних кілець

Твердження

Кільце R з одиницею називається напівпримарним, якщо його радикал Джекобсона J є нільпотентним ідеалом і фактор-кільце R/J є напівпростим.

Теоремою Акідзукі — Хопкінса — Левицького називають два пов'язані твердження:

Теорема 1 Для напівпримарного кільця R з одиницею і його правого модуля M такі твердження є еквівалентними:

• M є модулем Артіна;
• M є модулем Нетер;
• Для модуля M існує скінченний композиційний ряд.

Теорема 2 Для кільця R з одиницею такі твердження є еквівалентними:

• R є кільцем Артіна;
• R є напівпримарним кільцем Нетер.

Доведення

Теорема 1

Якщо для модуля M існує скінченний композиційний ряд то довжина цього ряду є рівною довжині модуля M, тобто максимуму із довжин усіх строго спадних чи зростаючих послідовностей підмодулів M. Зокрема у M не може бути нескінченної строго спадної чи строго зростаючої послідовності підмодулів і M є модулем Нетер і модулем Артіна.

Нехай J — радикал Джекобсона кільця R і $F_i=J^{i-1}M/J^{i}M$. R-модуль $F_i$ можна розглядати як $R/J$-модуль і тоді $F_i$ є напівпростим $R/J$-модулем, оскільки $R/J$ є напівпростим кільцем, а кожен модуль над напівпростим кільцем є напівпростим. Також оскільки J є нільпотентним ідеалом, лише скінченна кількість із $F_i$ є ненульовими модулями. Оскільки $F_i$ є напівпростим, то він є прямою сумою простих $R/J$. Якщо модуль M є артиновим або нетеровим, то ця пряма сума є скінченною і для $F_i$ існує скінченний композиційний ряд. Об'єднуючи композиційні ряди для $F_i$ одержується композиційний ряд для M.

Теорема 2

З теореми 1 відразу випливає, що якщо R є напівпримарним кільцем Нетер, то воно є і кільцем Артіна. Залишається довести, що якщо R є кільцем Артіна, то воно є напівпримарним. Тоді з попередньої теореми випливатиме, що воно є нетеровим.

Нехай R є кільцем Артіна. Потрібно довести, що його радикал Джекобсона J є нільпотентним і кільце R/J є напівпростим.

Розглянемо послідовність степенів радикала $J^n.$ Оскільки R є кільцем Артіна ця послідовність стабілізується. Нехай всі її члени починаючи з деякого номера є рівними X. Очевидно X² = X. Припустимо $X\ne 0.$ Нехай Y — мінімальний елемент множини правих ідеалів $Z\subset X$ для яких $ZX\ne 0.$ Очевидно $yX\ne 0$ для якогось елемента $y\in Y$ і $(yX)X=y{X}^2=yX\ne 0,$ звідки $yX=Y.$ Зокрема існує $x\in X\subset J$ для якого $yx=y$ або $y(x-1)=0.$ Оскільки x є елементом радикала Джекобсона, то 1 - x є оборотним елементом, тож y = 0. Оскільки це не є можливим, то $X=0,$ тобто J є нільпотентним ідеалом.

Позначимо тепер A = R/J. Радикал Джекобсона кільця A є рівним нулю, тож перетин всіх правих максимальних ідеалів кільця A є рівним нулю. Оскільки кільце A є артиновим, то можна вибрати скінченну кількість максимальних ідеалів $M_1,\dots ,M_n$ для яких $M_1\cap \dots \cap M_n=\{0\}.$ Позначимо ${\psi }_i$ проєкцію кільця A у фактор-кільце $A/M_i$ (яке є простим A-модулем). Тоді $\psi (a)=({\psi }_1(a),\dots ,{\psi }_n(a))$ є мономорфізмом із A у напівпростий модуль $\underset{i=1}{\overset{n}{\oplus }}A/M_i.$ Тож A є підмодулем напівпростого модуля і тому теж є напівпростим модулем, тобто напівпростим кільцем.

Див. також

• Кільце Артіна
• Кільце Нетер
• Напівпростий модуль

Література

• Херштейн И.Н., Некоммутативные кольца, М.: Мир, 1972
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation

• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation