Теорема Адамара про три прямі

Теоремою Адамара про три прямі у комплексному аналізі називається твердження про поведінку голоморфних функцій у регіонах обмежених паралельними прямими на комплексній площині. Теорема названа на честь Жака Адамара.

Твердження

Нехай f є голоморфною і обмеженою функцією в області $B=\{x+iy:(x,y)\in ]a,b[\times ℝ\}$ і є неперервною в замиканні $\bar{B}$.

Тоді можна ввести функцію : $M:x\mapsto \underset{y}{\sup }|f(x+iy)|$.

Тоді $\ln (M(x))$ є опуклою функцією на [a, b], іншими словами :

$\mathrm{\forall }t\in [0,1],a⩽c<d⩽b,x=tc+(1-t)d$, виконується нерівність $M(x)\le M(c{)}^{t}M(d{)}^{1-t}.$

Доведення

Нижче подано доведення нерівності для a, b. Подібно можна довести твердження для довільного відрізка, що міститься у [a, b].

Введемо функцію : $F:z\mapsto f(z)M(a{)}^{\frac{z-b}{b-a}}M(b{)}^{\frac{z-a}{a-b}}$. Вона є голоморфною на $B$. Якщо $z=x+iy$ то

$|M(a{)}^{\frac{z-b}{b-a}}|=M(a{)}^{\frac{x-b}{b-a}}=M(a{)}^{-t},$.

де $t=\frac{b-x}{b-a}.$ Так само

$|M(b{)}^{\frac{z-a}{b-a}}|=M(b{)}^{t-1}$.

Якщо $z=a+iy$ то з попередніх формул $|M(z)|=|f(z)|M(a{)}^{-1}⩽1.$

Також, якщо $z=b+iy$ то з попередніх формул $|M(z)|=|f(z)|M(b{)}^{-1}⩽1.$

Тобто на границі області $B$ в усіх точках $|M(z)|⩽1.$ Якщо ця властивість виконується також в усіх точках області $B,$ то звідси випливає

$\mathrm{\forall }z=x+iy\in \bar{B},|f(z)|\le M(a{)}^{t}M(b{)}^{1-t}$, де $t=\frac{b-x}{b-a},$ що і є твердженням теореми.

Для доведення розглянемо послідовність функцій:

$F_n(z)=F(z)e^{((z-a)/(b-a){)}^2/n}{e}^{-1/n}.$

Ці функції прямують до 0 якщо |z| прямує до безмежності і також |F_n| ≤ 1 на границі області $B.$ Згідно принципу максимуму модуля звідси випливає також |F_n| ≤ 1 на всій області $B.$. Але $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{F}_n(z)=F(z),\mathrm{\forall }z\in \overline{B}.$ Тому $F(z)⩽1,\mathrm{\forall }z\in \overline{B},$ що завершує доведення.

Див. також

• Теорема Адамара про три кола

Література

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation