Тензор електромагнітного поля

4-тензор електромагнітного поля або просто тензор елекромагнітного поля — це математичний об'єкт, який використовується для описання поля в релятивістській фізиці.

Рівняння теорії відносності особливо зручно записувати, використовуючи так звані 4-вектори й 4-тензори. Головною перевагою такого запису є те, що в цій формі рівняння автоматично Лоренц-інваріантні, тобто не змінюються при переході від однієї інерційної системи координат до іншої.

Відповідний 4-тензор існує також і для опису електромагнітного поля. При його використанні основні рівняння для електромагнітного поля: рівняння Максвела й рівняння руху зарядженої частки в полі мають особливо просту й елегантну форму.

Визначення через 4-потенціал

4-тензор електромагнітного поля визначається, як похідні від 4-потенціалу :

$F_{ik}=\frac{\partial A_k}{\partial x^i}-\frac{\partial A_i}{\partial x^k}$.

Визначення через тривимірні вектори

4-тензор електромагнітного поля визначається через звичайні тривимірні складові векторів напруженості електричного поля й магнітної індукції так:

$F_{ik}=\left(\begin{array}{cccc}0& E_x& E_y& E_z\\ -E_x& 0& -H_z& H_y\\ -E_y& H_z& 0& -H_x\\ -E_z& -H_y& H_x& 0\end{array}\right)$

$F^{ik}=\left(\begin{array}{cccc}0& -E_x& -E_y& -E_z\\ E_x& 0& -H_z& H_y\\ E_y& H_z& 0& -H_x\\ E_z& -H_y& H_x& 0\end{array}\right)$

Перша форма — це коваріантний тензор, друга форма — контраваріантний тензор.

Сила Лоренца

Записане у 4-векторній формі рівняння руху зарядженої частки в електромагнітному полі набирає вигляду

$mc\frac{d{u}^i}{ds}=\frac{q}{c}{F}^{ik}{u}_k$,

де $u^k$ — 4-швидкість, q — електричний заряд частки, c — швидкість світла, m — маса спокою. Права частина цього рівняння це сила Лоренца.

Рівняння Максвелла

Основні рівняння електродинаміки записуються через 4-тензор електромагнітного поля так:

$\frac{\partial F_{ik}}{\partial x^j}+\frac{\partial F_{kj}}{\partial x^i}+\frac{\partial F_{ji}}{\partial x^k}=0$.

$\frac{\partial F^{ik}}{\partial x^k}=-\frac{4\pi }{c}{j}^i$.

де $j^i$ — 4-вектор густини електричного струму.

Див. також

• Векторний потенціал електромагнітного поля