Супремум-норма

Супремум-норма — в математичному аналізі, для дійснозначної чи комплекснозначної обмеженої функцій Шаблон:Tmath визначеної на множині Шаблон:Tmath, це норма означена як невід'ємне число:

$\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty },S}=\sup \{|f(s)|:s\in S\}.$

Це найпоширеніша норма для неперервних функцій. Її деколи називають:

• нормою Чебишова для функцій або
• рівномірною нормою, оскільки збіжність за цією нормою еквівалентна рівномірній збіжності.

Якщо Шаблон:Tmath — неперервна функція на замкненому й обмеженому проміжку, або, загальніше на компактній множині, то вона обмежена, й супремум у наведеному вище визначенні досягається за другою теоремою Веєрштрасса, тож тоді можливо замінити цей супремум максимумом. У такому випадку цю норму також називають Шаблон:Visible anchor (Шаблон:Lang-en). Зокрема, якщо Шаблон:Tmath — це деякий такий вектор, що $x=(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ у скінченновимірному просторі координат, вона набуває вигляду:

$\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }}:=\max (\left|x_1\right|,\dots ,\left|x_n\right|).$

Це називають Шаблон:Li.

Пов'язані означення

Про́стір непере́рвних фу́нкцій — лінійний нормований простір, елементами якого є неперервні на відрізку $[a,b]$ функції (зазвичай позначають $\mathrm{C}[a,b]$, іноді $C^0[a,b]$ або $C^{(0)}[a,b]$ або $C(a,b)$) . Норма в цьому просторі визначається так:

$||x|{|}_{𝐂[a,b]}=\underset{t\in [a,b]}{\max }|x(t)|$

Властивості

• Якщо послідовність $x_n$ елементів з $\mathrm{C}[a,b]$ збігається в цьому просторі до деякої граничної функції $x(t)$, то $x_n\rightrightarrows x$ при $n\to \mathrm{\infty }$.
  • Звідси: $\mathrm{C}[a,b]$ — банахів простір.
• Простір неперервних функцій сепарабельний: зліченну всюди щільну множину в ньому утворює множина всіх многочленів з раціональними коефіцієнтами. Це твердження виходить як наслідок апроксимаційної теореми Веєрштрасса.
• В $\mathrm{C}[a,b]$ не виконується тотожність паралелограма, тому норма в ньому не породжує ніякого скалярний добуток.

Варіації та узагальнення

Аналогічно цей простір будується також і над областями та їх замиканнями. У разі некомпактної множини максимум треба замінити точною верхньою гранню.

Отже, простором неперервних обмежених функцій (вектор-функцій) $C(X,Y)$ називають множину всіх неперервних обмежених функцій $x:X\to Y$ зі введеною на ній нормою:

$\Vert x{\Vert }_{C(X,Y)}=\underset{t\in X}{\sup }\Vert x(t){\Vert }_Y.$

Поряд з чебишовською нормою часто розглядають простір неперервних функцій з інтегральною нормою:

$\Vert x\Vert =\underset{a}{\overset{b}{\int }}|x(t)|dt$

У сенсі цієї норми простір неперервних на відрізку функцій вже не утворює повного лінійного простору. Фундаментальною, але не збіжною в ньому є, наприклад, послідовність $x_n$

$x_n(t)=\{\begin{array}{c}1,t⩾\frac{1}{n}\\ nt,t\in (-\frac{1}{n},\frac{1}{n})\\ -1,t⩽-\frac{1}{n}\end{array}$

Його поповненням є $L_1[a,b]$ — простір сумованих функцій.

Література

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Банах. КФА Лінійні операції
• Шаблон:Березанський.Ус.Шефтель
• Шаблон:Колмогоров.Фомин
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга