Рівняння Ландау — Ліфшиця (магнетизм)

Рівня́ння Ланда́у — Лі́фшиця — рівняння, що описує рух намагніченості в наближенні континуальної моделі у твердих тілах. Вперше введене Л. Д. Ландау та Є. М. Ліфшицем у 1935 році.

Формулювання

Для бездисипативного середовища та за відсутності спін-поляризованого струму рівняння Ландау-Ліфшиця зазвичай записується у вигляді

$\frac{\partial 𝐌}{\partial t}=-|\gamma |[𝐌\times {𝐇}^{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}],(1)$

где $𝐌\equiv 𝐌(𝐫,t)$ — щільність магнітного моменту (намагніченість), $\gamma$ — деяка феноменологічна стала, ${𝐇}^{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}\equiv {𝐇}^{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}(𝐫,t)$ — так зване ефективне магнітне поле.

Рівняння в основному використовується для феро- та феримагнетиків. У загальному випадку стала $\gamma$ не дорівнює гіромагнітному співвідношенню і в рамках феноменологічної теорії має розглядатись як величина, що визначається з експерименту. Їхня відмінність зумовлена вкладом орбітальних моментів. Тому за умови, що магнітні іони знаходяться в $S$-стані (тобто орбітальні моменти відсутні), можна вважати, що $\gamma$ дорівнює гіромагнітному відношенню з високим степенем точності.. Це виконується для CdCr₂Se₄, залізо-ітрієвого гранату Y₃Fe₅O₁₂, пермалою Fe_20+xNi_80-x та більшості інших феро- та феримагнітних матеріалів.

Ефективне магнітне поле визначається як варіаційна похідна вільної енергії за магнітним моментом

${𝐇}^{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}(𝐫,t)=-\frac{\delta F}{\delta 𝐌}.(2)$

У випадку, коли розглядається магнетик далеко від температури Кюрі або за нульової температури, то вільна енергія $F$ дорівнює внутрішній $E$.

В формулюванні (1) зберігається довжина вектора намагніченості. Це легко показати, домноживши обидві частини (1) скалярно на $𝐌$, що дасть

$\frac{\partial {𝐌}^2}{\partial t}=0.(3)$

Цей факт дає підставу казати про прецесію намагніченості.

Строге виведення рівняння руху намагніченості в континуальному наближенні неможливий, тому часто постулюється можливість формального переходу від рівняння руху оператора спіну ${𝐒}_n$

$i\hslash \frac{\partial {𝐒}_n}{\partial t}=[\mathscr{H},{𝐒}_n],(4)$

до рівняння (1) шляхом заміни ${𝐒}_n\to -\frac{a^3}{2{\mu }_B}𝐌({𝐫}_n)$ і розкладу поля намагніченості $𝐌({𝐫}_{n+n_0})$ поблизу точки ${𝐫}_n$ в ряд Тейлора. Тут $[\bullet ,\bullet ]$ — комутатор, $\mathscr{H}$ — гамільтоніан, ${𝐒}_n$ — оператор спіну для n-го вузла ґратки, а ${𝐫}_n$ — його радіус-вектор, $a$ — стала ґратки, ${\mu }_B$ — магнетон Бора.

Модифікації

Врахування дисипації, впливу температури чи спін-поляризованих струмів потребує модифікації вихідного рівняння (1), яка зазвичай зводиться до появи додаткових доданків в правій частині (1). Релаксаційні члени можуть мати різну розмірність і різну кількість параметрів. Але для наближеного опису процесів в феромагнетиках за невеликої дисипації може використовуватись рівняння в будь-якій з наведених нижче форм . Кожне з них можна перетворити з одного в інше.

Релаксаційний член в формі Ландау — Ліфшиця

Ландау та Ліфшиць запропонували наступну модифікацію:

$\frac{\partial 𝐌}{\partial t}=-|\gamma |[𝐌\times {𝐇}^{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}]-\frac{|\gamma |\lambda }{M^2}[𝐌\times [𝐌\times {𝐇}^{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}]],(5)$

де $\lambda$ — парметри дисипації. Інколи за параметр дисипації приймають величину ${\lambda }_1=|\gamma |\lambda$.

Рівняння Ландау — Ліфшиця — Гільберта

Часто використовується релаксаційний член в формі Гільберта:

$\frac{\partial 𝐌}{\partial t}=-|\gamma |[𝐌\times {𝐇}^{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}]+\frac{\alpha }{M}[𝐌\times \frac{\partial 𝐌}{\partial t}],(6)$

де $\alpha$ — параметр дисипації. Формальний перехід між рівняннями (5) та (6) можна здійснити заміною

$\gamma \to \frac{\gamma }{1+{\alpha }^2},\lambda \to \frac{\alpha M}{1+{\alpha }^2}.(7)$

В зв'язку з від'ємним значенням гіромагнітного відношення зустрічаються визначення параметрів релаксації з протилежними знаками в (5) та (6) .

Рівняння Блоха — Бломергена

Прикладом рівняння з дисипацією, що допускає зміну довжини вектора намагніченості, може слугувати модифіковане рівняння Блоха чи рівняння Блоха — Бломергена:

$\frac{\partial 𝐌}{\partial t}=-|\gamma |[𝐌\times {𝐇}^{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}]-{\omega }_r(𝐌-{\chi }_0{𝐇}^{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}),(8)$

де ${\chi }_0$ — так звана статистична сприйнятливість, що визначається як відношення намагніченості насичення до абсолютної величини ефективного поля, а ${\omega }_r$ — частота релаксації.

Вплив спін-поляризованого струму

Спін-поляризований струм зазвичай описують додатковим доданком в правій частині (1) вигляду $|\gamma |𝐓$. Один з підходів до його конкретизації полягає в розкладі вектора $|\gamma |𝐓$ за осями, направленими вздовж $𝐌$, $[𝐌\times {𝐦}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}]$ та $𝐌\times [𝐌\times {𝐦}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}]$. Тут ${𝐦}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}$ — одиничний вектор вздовж намагніченості опорного шару. В припущенні, що довжина вектора намагніченості не змінюється, перша проєкція буде дорівнювати нулю, а дві інші

${𝐓}_{\parallel }=-\frac{|\gamma |a_J}{M_s}𝐌\times [𝐌\times {𝐦}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}],{𝐓}_{\perp }=|\gamma |b_J[𝐌\times {𝐦}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}],(9)$

де коефіцієнти $a_J$ та $b_J$ пропорційні густині струму, залежать від параметрів структури, що поляризує, та кута між $𝐌$ и ${𝐦}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}$.

Інші форми запису

Для аналітичного аналізу частіше за все рівняння Ландау-Ліфшиця записується в кутових змінних сферичної системи координат $\theta$ та $\varphi$. В такому випадку вектор намагніченості можна представити як

$M_x+M_y=M_s\sin \theta e^{i\varphi },M_z=M_s\cos \theta ,$

де $M_s$ — намагніченість насичення. Щоб перейти в (1) до кутових змінних, домножимо рівняння на варіацію намагніченості $\delta 𝐌$, виразивши в кутових змінних проєкцію лівої частини на вісь аплікат. Далі, після запису варіації енергії та намагніченості через варіації кутів, отримаємо

$\sin \theta \frac{\partial \theta }{\partial t}=-\frac{|\gamma |}{M_s}\frac{\delta E}{\delta \varphi },\sin \theta \frac{\partial \varphi }{\partial t}=\frac{|\gamma |}{M_s}\frac{\delta E}{\delta \theta }.(10)$

Отримання рівнянь в кутових змінних, що містять додаткові члени, відбувається аналогічно. Так, для запису в формі Ландау — Ліфшиця — Гільберта маємо

$\sin \theta \frac{\partial \theta }{\partial t}=-\frac{|\gamma |}{M_s}\frac{\delta E}{\delta \varphi }-\alpha {\sin }^2\theta \frac{\partial \varphi }{\partial t},\sin \theta \frac{\partial \varphi }{\partial t}=\frac{|\gamma |}{M_s}\frac{\delta E}{\delta \theta }+\alpha \frac{\partial \theta }{\partial t}.(11)$

Література

• Ахиезер, А. И., Барьяхтар, В. Г. Пелетминский, С. В. Спиновые волны., М.: Наука, 1967, — 368 с.
• Гуревич, А. Г., Мелков, Г. А. Магнитные колебания и волны. М.: Физматлит, 1994. — 464 с.,  ISBN 5-02-014366-9.
• Зависляк, И. В., Тычинский, А. В., Физические основы функциональной микроэлектроники. К.: УМК ВО, 1989, — 105. с.
• Звездин, А. К, Звездин, К. А, Хвальковский, А. В. Обобщенное уравнение Ландау — Лифшица и процессы переноса спинового момента в магнитных наноструктурах. УФН, 178 436—442, (2008) http://dx.doi.org/10.3367/UFNr.0178.200804i.0436
• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. К теории дисперсии магнитной проницаемости ферромагнитных тел. Phys. Zs. Sowjet., 1935, 8, С. 153-169.
• Скроцкий, Г. В. Еще раз об уравнении Ландау — Лифшица. УФН
• Gilbert, T. A phenomenological theory of damping in ferromagnetic materials. IEEE Transactions on Magnetics, 2004, 40, pp. 3443-3449. http://dx.doi.org/10.1109/TMAG.2004.836740
• Шаблон:Cite book