Рівняння Кнотта

Діаграма, що показує переходи режиму, які виникають, коли Р-хвилі відбиваються на границях шарів всередині Землі при кутах падіння, відмінних від нормальних.

В геофізиці рівняння Кнотта (англ. Knott's equations) — рівняння, які описують перетворення амплітуд відбитих і заломлених плоских хвиль, що утворюються при різних кутах падіння на жорсткій плоскій границі двох однорідних, ізотропних пружних середовищ. Вони були отримані в 1899 році англійським геофізиком Карджілом Гілстоном Кноттом, і описують в термінах потенціалів зміщення те саме явище, яке описується рівняннями Цьопріца в термінах амплітуд зміщення.

Ця задача була вперше розглянута Гріном в 1839 р. Грін намагався пояснити відбиття і заломлення світла за допомогою теорії пружних хвиль. Однак він не завершив усіх алгебраїчних перетворень, необхідних для випадку, коли два напівпростори мають зовсім різні пружні модулі та густини. Узагальнення виконали Кнотт в 1899 р. і незалежно від нього Шаблон:Не перекладено в 1907 р.

Нехай з верхнього середовища у нижнє падає плоска поздовжня хвиля з амплітудою потенціалу зміщення $A_0$ під кутом ${\theta }_1$, відмінним від нуля. Тоді на плоскій границі розділу середовищ утворюються чотири хвилі: поздовжня відбита ($A_1,{\theta }_1^{\text{'}}$), поперечна відбита ($B_1,{\delta }_1$), поздовжня заломлена ($A_2,{\theta }_2$) і поперечна заломлена ($B_2,{\delta }_2$). Параметри середовища вказані на рисунку: $\sigma$ — густина, $\lambda ,\mu$ — константи Ляме, $V_P$, $V_S$ позначають швидкості поширення відповідно поздовжніх і поперечних хвиль.

Тоді система рівнянь Кнотта матиме такий вигляд:

$\{\begin{array}{cccccccc}-a_1{A}_0& +& a_1{A}_1& -& B_1=& -a_2{A}_2& -& B_2,\\ A_0& +& A_1& +& b_1{B}_1=& A_2& -& b_2{B}_2,\\ {\mu }_1{c}_1{A}_0& +& {\mu }_1{c}_1{A}_1& -& 2{\mu }_1{b}_1{B}_1=& {\mu }_2{c}_2{A}_2& +& 2{\mu }_2{b}_2{B}_2,\\ -2{\mu }_1{a}_1{A}_0& +& 2{\mu }_1{a}_1{A}_1& +& {\mu }_1{c}_1{B}_1=& -2{\mu }_2{a}_2{A}_2& +& {\mu }_2{c}_2{B}_2,\end{array}$

де $a_i=\mathrm{ctg}{\theta }_i$, $b_i=\mathrm{ctg}{\delta }_i$, $c_i=b_i^2-1$.

Аналогічні рівняння можна вивести для падаючої поперечної хвилі.