Рівняння Цьопріца

Хвилі, збурені на границі розділу двох середовищ при падінні плоскої поздовжньої хвилі

В геофізиці рівняння Цьопріца (Шаблон:Lang-en) — система рівнянь, яка описує перетворення амплітуд відбитих і заломлених плоских хвиль, що утворюються при різних кутах падіння на жорсткій плоскій границі двох однорідних, ізотропних пружних середовищ. Вони були отримані в 1907 році німецьким геофізиком Шаблон:Не перекладено (опубліковані в 1919 р. вже після його смерті), і описують в термінах амплітуд зміщення те саме явище, яке описується рівняннями Кнотта в термінах потенціалів зміщення.

Ця задача була вперше розглянута Джорджем Гріном в 1839 р. Грін намагався пояснити відбиття і заломлення світла за допомогою теорії пружних хвиль. Однак він не завершив усіх алгебраїчних перетворень, необхідних для випадку, коли два напівпростори мають зовсім різні пружні модулі та густини. Узагальнення виконали Кнотт в 1899 р. і незалежно від нього Цьопріц в 1907 р.

Рівняння Цьопріца є основою для AVO-аналізу — корисного методу виявлення резервуарів вуглеводнів.

Рівняння Цьопріца для падаючої поздовжньої хвилі

Довільний кут падіння хвилі

Нехай з верхнього середовища у нижнє падає плоска поздовжня хвиля з амплітудою зміщення $A_0$ під кутом ${\theta }_1$, відмінним від нуля. Тоді на плоскій границі розділу середовищ утворюються чотири хвилі: поздовжня відбита ($A_1,{\theta }_1^{\text{'}}$), поперечна відбита ($B_1,{\delta }_1$), поздовжня заломлена ($A_2,{\theta }_2$) і поперечна заломлена ($B_2,{\delta }_2$). Параметри середовища вказані на рисунку: $\sigma$ — густина, $V_P,V_S$ — швидкості поширення відповідно поздовжніх і поперечних хвиль. Стрілки показують додатні напрямки для амплітуд. Кути на рисунку пов'язані між собою законом Снеліуса:

$\frac{\sin {\theta }_1}{V_{P1}}=\frac{\sin {\theta }_2}{V_{P2}}=\frac{\sin {\delta }_1}{V_{S1}}=\frac{\sin {\delta }_2}{V_{S2}}=p$,

де $p$ є хвильовим параметром.

В цьому випадку система рівнянь Цьопріца матиме наступний вигляд:

$\{\begin{array}{cccccccc}{A}_1\cos {\theta }_1& -& B_1\sin {\delta }_1& +& A_2\cos {\theta }_2& +& B_2\sin {\delta }_2& =A_0\cos {\theta }_1,\\ A_1\sin {\theta }_1& +& B_1\cos {\delta }_1& -& A_2\sin {\theta }_2& +& B_2\cos {\delta }_2& =-A_0\sin {\theta }_1,\\ A_1{Z}_1\cos 2{\delta }_1& -& B_1{W}_1\sin 2{\delta }_1& -& A_2{Z}_2\cos 2{\delta }_2& -& B_2{W}_2\sin 2{\delta }_2& =-A_0{Z}_1\cos 2{\delta }_1,\\ A_1\frac{V_{S1}}{V_{P1}}{W}_1\sin 2{\theta }_1& +& B_1{W}_1\cos 2{\delta }_1& +& A_2\frac{V_{S2}}{V_{P2}}{W}_2\sin 2{\theta }_2& -& B_2{W}_2\cos 2{\delta }_2& =A_0\frac{V_{S1}}{V_{P1}}{W}_1\sin 2{\theta }_1,\end{array}$

де $Z_i={\sigma }_i{V}_{Pi}$, $W_i={\sigma }_i{V}_{Si}$, $i=1,2$.

Аналогічні рівняння можна вивести для падаючої поперечної хвилі.

Добутки густини на швидкість ($Z_i$, $W_i$) називаються акустичними жорсткостями.

Нормальне падіння хвилі

Для поздовжньої хвилі при нормальному падінні (${\theta }_1=0$) відсутні тангенціальні напруження і зміщення. Тому $B_1=B_2=0$, і рівняння Цьопріца набувають вигляду:

$\{\begin{array}{cccc}{A}_1& +& A_2=& A_0,\\ Z_1{A}_1& -& Z_2{A}_2=& -Z_1{A}_0.\end{array}$

Розв'язком цих рівнянь відносно коефіцієнтів відбиття (R) та проходження (T) є

$\frac{A_1}{A_0}=R_{PP}(0)=\frac{Z_2-Z_1}{Z_2+Z_1}$,

$\frac{A_2}{A_0}=T_{PP}(0)=\frac{2Z_1}{Z_2+Z_1}$.

Наближення

Рівняння Цьопріца є достатньо складними, тому часто використовують їх наближені розв'язки у вигляді коефіцієнтів відбиття і проходження як функцій від кута падіння ${\theta }_1$.

Наближення Акі-Річардса

Наближення Акі-Річардса є важливою лінійною апроксимацією рівнянь Цьопріца, яке є справедливим для кутів аж до 40°.

Коефіцієнт відбиття, падаюча і відбита хвиля є поздовжніми:

$\frac{A_1}{A_0}=R_{PP}({\theta }_1)=\frac{1}{2}\frac{\mathrm{\Delta }\sigma }{\sigma }-2\frac{V_S^2}{V_{P1}^2}\frac{\mathrm{\Delta }\sigma }{\sigma }{\sin }^2{\theta }_1+\frac{1}{2}\frac{\mathrm{\Delta }{V}_P}{V_P}\frac{1}{{\cos }^2\theta }-4\frac{V_S^2}{V_{P1}^2}\frac{\mathrm{\Delta }{V}_S}{V_S}{\sin }^2{\theta }_1$,

Коефіцієнт проходження, падаюча і відбита хвиля є поздовжніми:

$\frac{A_2}{A_0}=T_{PP}({\theta }_1)=1-\frac{1}{2}\frac{\mathrm{\Delta }\sigma }{\sigma }+(\frac{1}{2{\cos }^2\theta }-1)\frac{\mathrm{\Delta }{V}_P}{V_P}$,

Коефіцієнт відбиття, падаюча хвиля поздовжня, відбита — поперечна:

$\frac{B_1}{A_0}=R_{PS}({\theta }_1)=-\frac{V_P}{2V_{P_1}}\frac{\sin {\theta }_1}{\cos \delta }[(1-\frac{2V_S^2}{V_{P_1}^2}{\sin }^2{\theta }_1+\frac{2V_S}{V_P}\cos \theta \cos \delta )\frac{\mathrm{\Delta }\sigma }{\sigma }-(\frac{4V_S^2}{V_{P_1}^2}{\sin }^2{\theta }_1-\frac{4V_S}{V_P}\cos \theta \cos \delta )\frac{\mathrm{\Delta }{V}_S}{V_S}]$,

Коефіцієнт проходження, падаюча хвиля поздовжня, відбита — поперечна:

$\frac{B_2}{A_0}=T_{PS}({\theta }_1)=\frac{V_P}{2V_{P_1}}\frac{\sin {\theta }_1}{\cos \delta }[(1-\frac{2V_S^2}{V_{P_1}^2}{\sin }^2{\theta }_1-\frac{2V_S}{V_P}\cos \theta \cos \delta )\frac{\mathrm{\Delta }\sigma }{\sigma }-(\frac{4V_S^2}{V_{P_1}^2}{\sin }^2{\theta }_1+\frac{4V_S}{V_P}\cos \theta \cos \delta )\frac{\mathrm{\Delta }{V}_S}{V_S}]$,

де $\mathrm{\Delta }\sigma ={\sigma }_2-{\sigma }_1,\sigma =\frac{1}{2}({\sigma }_2+{\sigma }_1),\mathrm{\Delta }{V}_P=V_{P2}-V_{P1},V_P=\frac{1}{2}(V_{P2}+V_{P1}),$,

$\mathrm{\Delta }{V}_S=V_{S2}-V_{S1},V_S=\frac{1}{2}(V_{S2}+V_{S1}),\theta =\frac{1}{2}({\theta }_2+{\theta }_1),\delta =\frac{1}{2}({\delta }_2+{\delta }_1)$.

Для слабо-контрастних відбиваючих границь і малих кутів ${\theta }_1$ справедливими є наступні наближені формули:

$R_{PP}({\theta }_1)=\frac{1}{2}(\frac{\mathrm{\Delta }{V}_P}{V_P}+\frac{\mathrm{\Delta }\sigma }{\sigma })+\frac{1}{2}[\frac{\mathrm{\Delta }{V}_P}{V_P}-4{\gamma }^2(\frac{\mathrm{\Delta }\sigma }{\sigma }+2\frac{\mathrm{\Delta }{V}_S}{V_S})]{\theta }_1^2$,

$R_{PS}({\theta }_1)=-\frac{1}{2}\left(\frac{\mathrm{\Delta }\sigma }{\sigma }\right)+2\gamma [\frac{\mathrm{\Delta }\sigma }{\sigma }+2\frac{\mathrm{\Delta }{V}_S}{V_S}]{\theta }_1$,

де $\gamma =\frac{V_S}{V_P}$.

Наближення Шуей

Тричленне рівняння Шуей для кутів ${\theta }_1$ до 30–40° може бути записане у вигляді:

$\frac{A_1}{A_0}=R_{PP}({\theta }_1)=R_{PP}(0)+G{\sin }^2{\theta }_1+F({\mathrm{tg}}^2{\theta }_1-{\sin }^2{\theta }_1)$,

де

$R_{PP}(0)=\frac{1}{2}(\frac{\mathrm{\Delta }{V}_P}{V_P}+\frac{\mathrm{\Delta }\sigma }{\sigma })$,

$G=\frac{1}{2}\frac{\mathrm{\Delta }{V}_P}{V_P}-2\frac{V_S^2}{V_P^2}(\frac{\mathrm{\Delta }\sigma }{\sigma }+2\frac{\mathrm{\Delta }{V}_S}{V_S})$,

$F=\frac{1}{2}\frac{\mathrm{\Delta }{V}_P}{V_P}$.

В цьому рівнянні перший доданок є коефіцієнтом відбиття при нормальному падінні (${\theta }_1=0$), другий характеризує коефіцієнт відбиття на проміжних кутах, а третій описує підхід до критичного кута.

Для кутів ${\theta }_1$ до 30° можна використовувати двочленне рівняння Шуей:

$R_{PP}({\theta }_1)\approx R_{PP}(0)+G{\sin }^2{\theta }_1$.

Див. також

• Рівняння Кнотта.
• AVO-аналіз.