Розшарування (теорія гомотопій)

Шаблон:Інші значення У алгебричній топології, розділі математики, розшаруванням (також розшаруванням Гуревича, фібрацією) називається неперервне відображення топологічних просторів, яке задовольняє властивість підняття гомотопії для кожного топологічного простору. Розшарування відіграють важливу роль у теорії гомотопій, підобласті алгебричної топології. Грубо кажучи, розшарування є парою просторів із відображенням одного на інше, де будь-яку гомотопію у просторі на який здійснюється відображення можна перенести вздовж даного відображення на вихідний простір відображення.

Пов'язаними є також поняття розшарування Серра і квазірозшарування.

Означення

Розшарування Гуревича

Розшаруванням (також розшаруванням Гуревича, фібрацією) називається неперервне відображення $p:E⟶B$, яке має властивість підняття гомотопії для всіх топологічних просторів $X$. Тобто для топологічного простору $X$ і всіх неперервних відображень

$f:X\times I⟶B$

і неперервних відображень

$\overline{f}:X\times \{0\}\to E$,

для яких діаграма

$\begin{array}{ccc}\overline{f}:X\times \{0\}& ⟶& E\\ \mathrm{incl}\downarrow & & \downarrow p\\ f:X\times I& ⟶& B\end{array}$

є комутативною, існує відображення

$F:X\times I⟶E$

для якого $f=p\circ F$ і $F{|}_{X\times \{0\}}=\overline{f}$. Таке відображення називається накриваючою гомотопією.

Простір $E$ називається загальним простором, $B$ — базовим простором розшарування. Прообраз $p^{-1}(b)$ точки $b\in B$ називається шаром над $b$.

Якщо базовий простір $B$ є лінійно зв'язаним, то шари над різними точками $B$ є гомотопно еквівалентними.

Розшарування Серра

Розшарування Серра — неперервне відображення $p:E⟶B$, яке задовольняє властивість підняття гомотопії для всіх CW-Комплексів $X$.

Для цього достатнім (і, отже, еквівалентним) є факт виконання властивості підняття гомотопії для просторів $X={[0,1]}^n$ для $n=0,1,2,\dots$. Звідси також еквівалентною є вимога виконання властивості підняття гомотопії для всіх поліедрів — топологічних просторів гомеоморфних симпліційним комплексам. Це твердження також часто використовується для означення розшарування Серра.

Квазірозшарування

Квазірозшаруванням називається неперервне відображення $p:E⟶B$, для якого породжений гомоморфізм відносних гомотопічних груп

$p_{*}:{\pi }_i(E,p^{-1}(x);y)\to {\pi }_i(B,x)$

для усіх $x\in B,y\in p^{-1}(x)$ і всіх $i⩾0$ є ізоморфізмом.

Якщо базовий простір є лінійно зв'язаним, то всі шари квазірозшарування є слабко гомотопно еквівалентними.

Кожне розшарування Серра є квазірозшаруванням.

Пов'язані означення

Відображення $f:E_1\to E_2$ між загальними просторами двох розшарувань $p_1:E_1\to B$ і $p_2:E_2\to B$ над одним базовим простором називається гомоморфізмом розшарувань якщо відображення на діаграмі нижче комутують:

Якщо додатково для $f$ існує такий гомоморфізм розшарувань $g:E_2\to E_1$, що $f\circ g$ і $g\circ f$ є гомотопними до одиничних відображень $I{d}_{E_2}$ і $I{d}_{E_1}$ за допомогою гомотопії, що є гомоморфізмом розшарувань, то $f$ називається гомотопною еквівалентністю розшарувань.

Якщо задане розшарування $p:E\to B$ і неперервне відображення $f:A\to B$, нехай $f^{*}(E)=\{(a,e)\in A\times E|f(a)=p(e)\}$ і відображення $p_f:f^{*}(E)\to A$є проєкцією на перший множник у добутку множин. При цьому відображення на діаграмі нижче комутують:

Тоді $p_f:f^{*}(E)\to A$ є розшаруванням, яке називається індукованим розшаруванням розшарування $p:E\to B$ за допомогою відображення $f:A\to B$.

Властивості

• Якщо $p:E⟶B$ є розшаруванням і $b_1,b_2\in B$, то шари $p^{-1}(b_1),p^{-1}(b_2)$ над цими двома довільними точками є гомотопно еквівалентними. Таким чином поняття розшарування Гуревича певною мірою є гомотопно теоретичним аналогом поняття локально тривіального розшарування для якого всі шари є гомеоморфними.
• Розшарування $p:E⟶B$ над стягуваним простором є гомотопно еквівалентним як розшарування (тобто за допомогою гомотопії, що є гомоморфізмом розшарувань) до тривіального розшарування (добутку просторів) $B\times F⟶B.$ Більш загально, якщо $B$ є локально стягуваним простором, то $p:E⟶B$ є локально гомотопно еквівалентним як розшарування до тривіального розшарування. Це продовжує опис розшарування Гуревича як гомотопно теоретичного аналога локально тривіальних розшарувань.
• Для всіх розшарувань Гуревича зі стягуваним базовим простором існує перетин.

Перетин одержується із підняття гомотопії $F:X\times [0,1]\to X$ між сталим відображенням $F_0$ і одиничним відображенням $F_1$ (існування такої гомотопії випливає з означення стягуваних просторів). Оскільки для сталого відображення очевидно існує підняття, то воно існує і для гомотопії й для одиничного відображення $F_1$. Але підняття для одиничного відображення буде перетином.

• Кожне неперервне відображення $f:A\to B$ можна записати як композицію відображень $A\to E_f\to B$ у якій перше відображення є гомотопною еквівалентністю, а друге — розшаруванням. Зокрема за $E_f$ можна взяти множину пар $(a,\gamma )$ де $a\in A$ і $\gamma :I\to B$ є шляхом для якого $\gamma (0)=f(a),$ де $I=[0,1]$ позначає одиничний відрізок. На просторі $E_f=\{(a,\gamma )\in A\times B^I|\gamma (0)=f(a)\}$ вводиться індукована топологія із простору $A\times B^I,$ де $B^I$ є простором неперервних відображень $I\to B$ із компактно-відкритою топологією. Відображення $p:E_f\to B$ задане як $p(a,\gamma )=\gamma (1)$ є розшаруванням. Також $A$ можна розглядати як підпростір $E_f$ ідентифікуючи $a\in A$ із парою $(a,{\gamma }_{f(a)}),$ де ${\gamma }_{f(a)}$ позначає сталий шлях у точці $f(a)$. Включення $i:A\to E_f$ є гомотопною еквівалентністю і $f=p\circ i$ тобто $f$ є рівною композиції гомотопної еквівалентності й розшарування.

Приклади

• Нехай $F$ — будь-який топологічний простір і

$p:B\times F\to B$

є проєкцією на перший фактор. Тоді $p$ є розшаруванням Гуревича. Таке розшарування називається тривіальним.

• Натомість локально тривіальне розшарування може не бути розшаруванням Гуревича. Як приклад головне розшарування для групи $G=({ℝ}^{+},\cdot )$ додатних дійсних чисел з операцією множення над простором $X$ одержаним склеюванням двох дійсних прямих вздовж додатних чисел.

Детальніше нехай $X=(ℝ\times \{0,1\})/\sim$, де відношення еквівалентності породжується усіма еквівалентностями виду $(x,0)\sim (x,1),x\in {ℝ}^{+}$ і $q:ℝ\times \{0,1\}\to X$ є проєкцією на фактор-простір. Якщо позначити $U=q(ℝ\times \{0\}),V=q(ℝ\times \{1\}),$ то ці множини утворюють відкрите покриття простору $X$. Неперервне відображення $\hat{g}:ℝ\times \{0,1\}\to ℝ,$ задане як $\hat{g}(x\times i)=x$ породжує неперервне відображення $g:X\to ℝ.$

Нехай $f=g{|}_{U\cap V}:U\cap V\to {ℝ}^{+}$ є обмеженням цього відображення. Тоді $f$ є неперервним відображенням яке не можна продовжити до неперервного відображення із $X$ на ${ℝ}^{+}$ (якби таке продовження $\hat{f}$ існувало, і $\hat{f}(0)=y$ то для будь-якої послідовності, що збігається до 0 в $X$ границею образів елементів цієї послідовності має бути $y$; але $q(1/n,1)$ є прикладом такої послідовності і $\hat{f}(q(1/n,1))=f(q(1/n,1))=1/n$ є послідовністю, що не має границі у ${ℝ}^{+}$).

Нехай $E_U=U\times G,E_V=V\times G$ є тривіальними головними розшаруваннями, де як і вище $G=({ℝ}^{+},\cdot )$. З цих двох розшарувань можна побудувати головне розшарування над $X$ за допомогою склеювання над $U\cap V$ за допомогою $G$-ізоморфізму ${\phi }_f:E_U{|}_{U\cap V}\stackrel{\simeq }{\to }{E}_V{|}_{U\cap V}$ для якого ${\phi }_f(x,g)=(x,f(x)\cdot g).$ Одержане розшарування буде локально тривіальним оскільки його обмеження на $U$ і $V$ є тривіальними, але для нього не існує перетинів, зокрема воно не є тривіальним. Дійсно з існування перетину $s_X$ випливало б існування також перетинів на тривіальних розшаруваннях $E_U,E_V$ і відповідно неперервних відображень $S_U:U\to {ℝ}^{+}$ і $S_V:V\to {ℝ}^{+}$ для яких також $S_V(x)=f(x)\cdot S_U(x),\mathrm{\forall }x\in U\cap V$ і як наслідок $f(x)=\frac{S_V(x)}{S_U(x)},\mathrm{\forall }x\in U\cap V.$ Але тоді також можна задати неперервне продовження $\bar{f}:X\to {ℝ}^{+}$ на весь простір задане як $\bar{f}(x)=\frac{S_V(q(g(x),1))}{S_U(q(g(x),0))}$. Одержана суперечність із неможливістю такого продовження доводить відсутність перетину $s_X$.

Оскільки простір $X$ є стягуваним, то відсутність перетинів також доводить, що це головне розшарування не є розшаруванням Гуревича.

• Якщо додатково базовий простір є паракомпактним то локально тривіальне розшарування є розшаруванням Гуревича.

• Розшарування Гопфа історично було одним із перших нетривіальних прикладів розшарування.
• Розшарування Гопфа є частковим випадком розшарувань над комплексними проєктивними просторами виду $p:S^{2n+1}\to {𝐂𝐏}^n$ із шарами $S^1.$ Розшарування Гопфа є частковим випадком для n=1 оскільки ${CP}^1$ є гомеоморфним сфері.
• Ще одним узагальненням розшарування Гопфа, є розшарування над кватерніонним проєктивним простором $p:S^{4n+3}\to {𝐇𝐏}^n$ із шарами $S{p}^1,$ тобто групою одиничних кватерніонів.
• Розшарування Серра $p:SO(3)\to S^2$ одержується із дії [[SO(3)|групи поворотів Шаблон:Math]] на сфері Шаблон:Math. Шари цього розшарування є рівними Шаблон:Math. Як топологічний простір Шаблон:Math є гомеоморфним дійсному проєктивному простору Шаблон:Math і тому Шаблон:Math є подвійним накриттям Шаблон:Math. Звідси випливає, що розшарування Гопфа є універсальним накриттям.
• Попередній приклад можна узагальнити на розшарування $p:SO(n+1)\to S^n$ із шарами Шаблон:Math для будь-якого невід'ємного цілого числа Шаблон:Mvar (хоча шари не є одноточковими лише для Шаблон:Math) яке одержується із дії [[Спеціальна ортогональна група|спеціальної ортогональної групи Шаблон:Math]] на Шаблон:Mvar-гіперсфері.
• Кожне накриття топологічного простору є розшаруванням Гуревича.
• Більш загально, кожне локально тривіальне розшарування є розшаруванням Серра. У цьому випадку шари для різних точок не тільки є гомотопно еквівалентними, але і гомеоморфними.
• Приклад розшарування Серра, що не є розшаруванням Гуревича можна одержати якщо взяти $E=\{(x,y):x=y,x\in I\}\cup \bigcup _{\genfrac{}{}{0ex}{}{n\in \mathbb{N}}{n>0}}\{(x,y):x\in I,y=1+1/n\}$ і $B=I=\{x:0\le x\le 1\}.$ Тоді відображення $p(x,y)=x$ є розшаруванням Серра, але шари $p^{-1}(0)$ і $p^{-1}(1)$ не є гомотопно еквівалентними, тому воно не є розшаруванням Гуревича.
• Приклад квазірозшарування, що не є розшаруванням Серра можна одержати якщо взяти $E=([-1,0]\times \{1\}\cup \{0\}\times [0,1]\cup [0,1]\times \{0\})$ і $B=[-1,1].$ Тоді відображення $p(x,y)=x$ є квазірозшаруванням, але не розшаруванням Серра.

Довга точна гомотопічна послідовність

Для розшарувань Серра (а також, більш загально, для квазірозшарувань) для $p:E\to B$ існує довга точна послідовність груп гомотопії n

$\dots \to {\pi }_{n+1}(B,y)\to {\pi }_n(F,x)\to {\pi }_n(E,x)\to {\pi }_n(B,y)\to {\pi }_{n-1}(F,x)\to \dots$.

Тут $x\in E,y=p(x)\in B$ і $F=p^{-1}(x)$ є шаром.

Приклад: розшарування Гопфа $p:S^3\to S^2$ із шаром $S^1$. Як відомо, ${\pi }_n(S^1)=0$ для всіх $n⩾2$, з цього випливає ${\pi }_n(S^3)\cong {\pi }_n(S^2)$ для всіх $n⩾3$, зокрема ${\pi }_3(S^2)=\mathbb{Z}$.

Див. також

• Гомотопічні групи
• Кофібрація
• Локально тривіальне розшарування
• Накриваюча гомотопія
• Розшарування Гопфа

Література

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Cite book
• Albrecht Dold, René Thom: Quasifaserungen und unendliche symmetrische Produkte. Ann. of Math. (2) 67 1958 239–281. pdf Шаблон:Webarchive
• J. P. May.: Weak equivalences and quasifibrations. In Groups of self-equivalences and related topics (Montreal, PQ, 1988), volume 1425 of Lecture Notes in Math., pages 91–101. Springer, Berlin, 1990.
• Jean-Pierre Serre: Homologie singulière des espaces fibrés. Applications. Ann. of Math. (2) 54, (1951). 425–505. pdf Шаблон:Webarchive