Розподіл Гауса на локально компактній абелевій групі

Розподіл Гауса на локально компактній абелевій групі — розподіл $\gamma$ на локально компактній сепарабельній метричній абелевій групі $X$, який задовольняє наступним умовам:

(i) $\gamma$ — безмежно подільний розподіл;

(ii) якщо $\gamma =e(F)*\nu$, де $e(F)$ — узагальнений розподіл Пуассона, асоційований з мірою $F$, а $\nu$ — безмежно подільний розподіл, то міра $F$ вироджена в нулі.

Для групи $X={ℝ}^n$ це визначення збігається з класичним. Носій розподілу Гауса $\gamma$ — клас суміжності деякої зв'язної підгрупи групи $X$.

Нехай $Y$ — група характерів групи $X$. Розподіл $\gamma$ на групі $X$ є розподілом Гауса тоді і лише тоді, коли його характеристична функція може бути представлена у вигляді

$\hat{\gamma }(y)=(x,y)\exp \{-\phi (y)\}$,

де $(x,y)$ — значення характеру $y\in Y$ на елементі $x\in X$, а $\phi (y)$ — неперервна невід'ємна функція на $Y$, яка задовольняє рівнянню

$\phi (u+v)+\phi (u-v)=2[\phi (u)+\phi (v)],u,v\in Y$ ().

Розподіл Гауса називається симетричним, якщо $x=0$. Нехай $\mathrm{\Gamma }(X)$ — множина розподілів Гауса на групі $X$, ${\mathrm{\Gamma }}^s(X)$ — множина симетричних розподілів Гауса на групі $X.$ Розподіл $\gamma \in {\mathrm{\Gamma }}^s(X)$ є неперервним гомоморфним образом розподілу Гауса у лінійному просторі (скінченновимірному ${ℝ}^n$ або нескінченновимірному ${ℝ}^{\mathrm{\infty }}$— просторі всіх послідовностей з топологією покоординатної збіжності) (, ).

Якщо розподіл $\gamma$ можна вкласти в неперервну однопараметричну півгрупу ${\gamma }_t,t\ge 0$, розподілів на $X$, то $\gamma \in \mathrm{\Gamma }(X)$ тоді і лише тоді, коли

$\underset{t\to 0}{\lim }\frac{{\gamma }_t(X\mathrm{\setminus }U)}{t}=0$ для будь-якого околу нуля $U$ групи $X$().

Нехай $X$ — зв'язна група, $\gamma \in \mathrm{\Gamma }(X)$. Якщо група $X$ не локально зв'язна, то $\gamma$ сингулярний (відносно міри Хаара на $X$) (, ). Якщо $X$ локально зв'язна і має скінчену розмірність, то $\gamma$ або абсолютно неперервний, або сингулярний. Питання про справедливість аналогічного твердження на локально зв'язних групах нескінченої розмірності відкритий, хоча на таких групах можна побудувати як абсолютно неперервні, так і сингулярні розподіли Гауса.

На зв'язних групах скінченої розмірності справедлива альтернатива, яка має місце для розподілів Гауса у векторному просторі — будь-які два розподіли Гауса або взаємно абсолютно неперервні, або взаємно сингулярні (, ).

Справедливою є наступна теорема (), яку можна розглядати як аналог теореми Крамера про розклад нормального розподілу для локально компактних абепевих груп.

Теорема Крамера про розклад розподілу Гауса для локально компактних абелевих груп

Нехай випадкова величина $\xi$ приймає значення в локально компактній абелевій групі $X$ та має розподіл Гауса. Нехай також $\xi$ може бути представлена у вигляді суми двох незалежних випадкових величин $\xi ={\xi }_1+{\xi }_2$. Випадкові величини ${\xi }_1$ та ${\xi }_2$ мають розподіли Гауса тоді і лише тоді, коли група $X$ не містить підгрупи, топологічно ізоморфної групі обертів кола, тобто мультиплікативній групі комплексних чисел, модуль яких дорівнює 1.