Безмежно подільний розподіл

Безмежно подільний розподіл у теорії імовірностей це розподіл випадкової величини, такої, що вона може бути представлена у виді довільної скінченої кількості незалежних однаково розподілених доданків.

Означення

Випадкова величина $Y$ називається безмежно подільною, якщо для будь-якого $n\in \mathbb{N}$ вона може бути представлена у виді

$Y=\sum _{i=1}^n{X}_i^{(n)}$,

де ${\left\{X_i^{(n)}\right\}}_{i=1}^n$ - незалежні, однаково розподілені випадкові величини.

Властивості безмежно подільних розподілів

• Характеристична функція ${\varphi }_Y(t)$ безмежно подільної випадкової величини $Y$ має вид:

${\varphi }_Y(t)={\varphi }_{X_1^{(n)}}^n(t)$.

Канонічні представлення безмежно подільних розподілів

Формула Колмогорова

Нехай $\varphi (t)$ - характеристична функція безмежно подільного розподілу на $ℝ$, який має скінченну дисперсію. Тоді існує неспадна функція $K:ℝ\to ℝ$, така що $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{u\to -\mathrm{\infty }}K(u)=0$, і

$\ln \varphi (t)=i\delta t+\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{itu}-1-iut}{u^2}dK(u)$,

де інтеграл розуміється в смислі Лебега - Стилтьеса.

Формула Леві - Хінчина

Нехай $\varphi (t)$ - характеристична функція безмежно подільного розподілу на $ℝ$. Тоді існує неспадна функція обмеженої варіації $G:ℝ\to ℝ$, така що

$\ln \varphi (t)=i\delta t+\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(e^{itu}-1-\frac{itu}{1+u^2})\left(\frac{1+u^2}{u^2}\right)dG(u)$

Приклади

• Такі розподіли безмежно подільні: розподіл Коші, розподіл Пуассона, нормальний розподіл, гама розподіл.

• Нехай задано ймовірнісний простір $(\mathbb{N},2^{\mathbb{N}},m)$, де

$m(n)=\frac{{\lambda }^n}{n!}{e}^{-\lambda }$

для деякого $\lambda >0$. Тоді випадкова величина $X:\mathbb{N}\to ℝ$, що має вид

$X(n)=n,n\in \mathbb{N}$

не є безмежно подільною.

Безмежно подільний розподіл на локально компактних абелевих групах

Розподіл $\mu$ на локально компактній абелевій групі $X$ називається безмежно подільним, якщо для кожного натурального $n$ існує елемент $x_n\in X$ і розподіл ${\mu }_n$ на $X$ такий, що $\mu ={\mu }_n^{*n}*E_{x_n}$, де $E_{x_n}$ --- вироджений розподіл, зосереджений в $x_n$ (див. , ).

Прикладами безмежно подільних розподілів на локально компактних абелевих групах є вироджені розподіли, зсуви розподілів Хаара компактних підгруп, узагальнені розподіли Пуассона.