Практичне число

Практичне число 12

Практичне число або панаритмічне число — це додатне ціле число n, таке що всі менші додатні цілі числа можна подати у вигляді суми різних дільників числа n. Наприклад, 12 є практичним числом, оскільки всі числа від 1 до 11 можна подати у вигляді суми дільників 1, 2, 3, 4 і 6 цього числа — крім самих дільників, ми маємо 5 = 3 + 2, 7 = 6 + 1, 8 = 6 + 2, 9 = 6 + 3, 10 = 6 + 3 + 1 і 11 = 6 + 3 + 2.

Послідовність практичних чисел (Шаблон:OEIS) починається з

1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 64, 66, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 104, 108, 112, 120, 126, 128, 132, 140, 144, 150…

Практичні числа використовував Фібоначчі в своїй книзі Liber Abaci (1202) у зв'язку з задачею про подання раціональних чисел у вигляді єгипетських дробів. Фібоначчі не визначав формально практичні числа, але він дав таблицю подання єгипетських дробів для дробів з практичними знаменникамиШаблон:Sfn.

Назву «практичне число» дав ШрінівасанШаблон:Sfn. Він зауважив, що «розбиття грошей, ваги та інших мір з використанням таких чисел, як 4, 12, 16, 20 і 28, зазвичай настільки незручні, що заслуговують заміни степенями 10». Він перевідкрив низку теоретичних властивостей таких чисел і першим спробував класифікувати ці числа, а Стюарт Шаблон:Sfn і Серпінський Шаблон:Sfn завершили класифікацію. Визначення практичних чисел уможливлює визначити, чи є число практичним шляхом перегляду розкладу числа на прості множники. Будь-яке парне досконале число і будь-який степінь двійки є практичним числом.

Можна показати, що практичні числа аналогічні простим числам у багатьох сенсах.

Опис практичних чисел

У початковому описі ШрінівасанШаблон:Sfn стверджує, що практичне число не може бути недостатнім числом, тобто числом, сума всіх дільників якого (включно з 1 і самим числом) менша від подвоєного числа, якщо не брати до уваги нестачу, що дорівнює одиниці. Якщо для практичного числа $n$ виписати впорядковану множину дільників $d_1,d_2,...,d_j$, де $d_1=1$ і $d_j=n$, то твердження Шрінівасана можна виразити нерівністю

$2n⩽1+\sum _{i=1}^j{d}_i$.

Іншими словами, упорядкована послідовність всіх дільників $d_1<d_2<...<d_j$ практичного числа повинна бути Шаблон:Нп.

Це визначення розширили і завершили СтюартШаблон:Sfn і СерпінськийШаблон:Sfn, які показали, що визначення, чи є число практичним, визначається його розкладанням на прості дільники. Додатне ціле число, більше від 1 з розкладом $n=p_1^{{\alpha }_1}...p_k^{{\alpha }_k}$ (з упорядкуванням простих дільників за зростанням $p_1<p_2<\dots <p_k$), є практичним тоді і тільки тоді, коли кожен його простий дільник $p_i$ досить малий, щоб $p_i-1$ мало подання у вигляді суми менших дільників. Щоб це виконувалось, перше просте число $p_1$ має дорівнювати 2, а для будь-якого Шаблон:Math від 2 до Шаблон:Math для кожного наступного простого числа $p_i$ має виконуватися нерівність

$p_i⩽1+\sigma (p_1^{{\alpha }_1}{p}_2^{{\alpha }_2}\dots p_{i-1}^{{\alpha }_{i-1}})=1+\prod _{j=1}^{i-1}\frac{p_j^{{\alpha }_j+1}-1}{p_j-1},$

де $\sigma (x)$ означає суму дільників числа $x$. наприклад, $2\times 3^2\times 29\times 823=429606$ є практичним, оскільки нерівність виконується для кожного з простих дільників: $3⩽\sigma (2)+1=4,29⩽\sigma (2\times 3^2)+1=40$ і $823⩽\sigma (2\times 3^2\times 29)+1=1171$.

Умова, наведена вище, є необхідною і достатньою. З одного боку, ця умова є необхідною, щоб можна було подати $p_i-1$ у вигляді суми дільників числа $n$, оскільки в разі порушення нерівності додавання всіх менших дільників дало б суму, занадто малу, щоб отримати $p_i-1$. З іншого боку, умова є достатньою, що можна отримати за індукцією. Більш строго, якщо розклад числа $n$ задовольняє наведеній вище умові, то будь-яке число $m⩽\sigma (n)$ можна подати у вигляді суми дільників числа $n$ після таких кроківШаблон:SfnШаблон:Sfn:

• нехай $q=\min \{\lfloor m/p_k^{{\alpha }_k}\rfloor ,\sigma (n/p_k^{{\alpha }_k})\}$, і нехай $r=m-q{p}_k^{{\sigma }_k}$.
• Оскільки можна показати за індукцією, що $q⩽\sigma (n/p_k^{{\alpha }_k})$ і $n/p_k^{{\alpha }_k}$ є практичними, можна знайти подання q у вигляді суми дільників $n/p_k^{{\alpha }_k}$.
• Оскільки можна показати за індукцією, що $r⩽\sigma (n)-p_k^{{\alpha }_k}\sigma (n/p_k^{{\alpha }_k})=\sigma (n/p_k)$ і $n/p_k$ є практичними, то можна знайти подання r у вигляді суми дільників $n/p_k$.
• Подання у вигляді дільників r, разом з коефіцієнтом $p_k^{{\alpha }_k}$ для кожного дільника подання у вигляді дільників q, разом утворюють подання m у вигляді суми дільників n.

Властивості

• Єдине непарне практичне число — 1, оскільки якщо n>2 є непарним числом, то 2 можна подати у вигляді суми різних дільників числа $n$. ШрінівасанШаблон:Sfn зауважив, що відмінні від 1 і 2 практичні числа діляться на 4 або 6 (або на обидва).
• Добуток двох практичних чисел є також практичним числомШаблон:Sfn. Сильніше твердження: найменше спільне кратне будь-яких двох практичних чисел, є також практичним числом. Еквівалентно, множина всіх практичних чисел замкнута відносно множення.
• З опису чисел Стюартом і Серпінським можна бачити, що в разі, коли $n$ є практичним числом, а $d$ є одним з його дільників, число n*d має бути також практичним числом.
• У множині всіх практичних чисел існує множина простих практичних чисел. Просте практичне число — це або практичне і вільне від квадратів число, або практичне, яке при діленні на будь-який його простий дільник, показник якого в розкладі більший від 1, перестає бути практичним. Послідовність простих практичних чисел (Шаблон:OEIS) починається з

1, 2, 6, 20, 28, 30, 42, 66, 78, 88, 104, 140, 204, 210, 220, 228, 260, 272, 276, 304, 306, 308, 330, 340, 342, 348, 364, 368, 380, 390, 414, 460…

Зв'язок з іншими класами чисел

Кілька інших гідних уваги множин цілих чисел складаються виключно з практичних чисел:

• З властивостей, наведених вище, для практичного числа $n$ і одного з його дільників $d$ (тобто, $d$ | $n$) число $n\cdot d$ має також бути практичним, так що помноживши на 6 будь-який степінь числа 3 отримаємо практичне число, як і помноживши на 6 будь-який степінь числа 2.
• Будь-яка степінь двійки є практичним числомШаблон:Sfn. Степінь двійки тривіально задовольняє опису практичних чисел у термінах розкладання цілих чисел — всі прості числа в розкладі числа, p_1, дорівнюють двом, що й потрібно.
• Будь-яке парне досконале число є також практичним числомШаблон:Sfn. Це випливає з результату Ейлера, що парне досконале число мусить мати вигляд $2^{n-1}(2^n-1)$. Непарна частина цього розкладу дорівнює сумі дільників парної частини, так що будь-який непарний простий дільник такого числа має бути не більшим від суми дільників парної частини числа. Таким чином, це число має задовольняти опису практичних чисел.
• Будь-який прайморіал (добуток перших i простих для деякого числа i) є практичним числомШаблон:Sfn. Для перших двох прайморіалов, двійки і шістки це ясно. Кожен наступний прайморіал утворюється множенням простого числа p_i на менший прайморіал, який ділиться як на двійку, так і на попереднє просте число $p_{i-1}$. Згідно з постулатом Бертрана $p_i<2p_{i-1}$, так що кожен попередній простий дільник прайморіала менший, ніж один з дільників попереднього прайморіала. За індукцією, з цього випливає, що будь-який прайморіал задовольняє опису практичних чисел. Оскільки прайморіал за визначенням вільний від квадратів, він також є простим практичним числом.
• Узагальнюючи прайморіали, будь-яке число, яке є добутком ненульових ступенів перших k простих чисел, має бути практичним. У цю множину потрапляють надскладені числа Рамануджана (числа з кількістю дільників, більшою від будь-якого меншого додатного числа), а також факторіалиШаблон:Sfn.

Практичні числа і єгипетські дроби

Якщо n є практичним, то будь-яке раціональне число вигляду m/n з m<n можна подати у вигляді суми $\sum \frac{d_i}{n}$, де всі d_i є різними дільниками числа n. Кожен член цієї суми зводиться до аліквотного дробу, так що така сума дає подання числа m/n у вигляді єгипетського дробу, наприклад,

$\frac{13}{20}=\frac{10}{20}+\frac{2}{20}+\frac{1}{20}=\frac{1}{2}+\frac{1}{10}+\frac{1}{20}.$

Фібоначчі в своїй книзі 1202 року Liber AbaciШаблон:Sfn наводить деякі методи пошуку подання раціонального числа у вигляді єгипетського дробу. З них перший метод полягає в перевірці, чи не є число вже аліквотним дробом, а другий метод полягає в поданні чисельника у вигляді суми дільників знаменника, як описано вище. Цей метод гарантує успіх тільки в разі, коли знаменник є практичним числом. Фібоначчі навів таблиці таких поданнь для дробів, що мають знаменниками практичні числа 6, 8, 12, 20, 24, 60 і 100.

ВоузШаблон:Sfn показав, що будь-яке число x/y має подання у вигляді єгипетського дробу з $O(\sqrt{\log y})$ членами. Доведення використовує пошук послідовності практичних чисел n_i зі властивістю, що будь-яке число, менше від n_i, можна записати у вигляді суми $O(\sqrt{\log n_{i-1}})$ різних дільників числа n_i. Тоді i вибирається так, що $n_{i-1}<y⩽n_i$ і $x{n}_i$ ділиться на y, даючи частку q і остачу r. З цього вибору випливає, що $\frac{x}{y}=\frac{q}{n_i}+\frac{r}{y{n}_i}$. Розклавши чисельники в правій частині формули на суму дільників числа n_i одержимо подання числа у вигляді єгипетського дробу. Тененбаум і ЙокотаШаблон:Sfn застосували подібну техніку, що використовує іншу послідовність практичних чисел, щоб показати, що будь-яке число $\frac{x}{y}$ має подання у вигляді єгипетського дробу, в якому найбільший знаменник дорівнює $O(\frac{y{\log }^{2}y}{\log \log y})$.

Згідно з гіпотезою Чжи Вей Суня (вересень 2015 року), будь-яке додатне раціональне число має подання у вигляді єгипетського дробу, в якому будь-який знаменник є практичним числом. Існує доведення гіпотези в блозі Девіда Еппштейна.

Аналогія з простими числами

Одна з причин інтересу до практичних чисел полягає в тому, що багатьма властивостями вони подібні до простих чисел. Більш того, теореми, аналогічні гіпотезі Гольдбаха і гіпотезі про числа-близнюки, відомі для практичних чисел — будь-яке додатне парне число є сумою двох практичних чисел і існує нескінченно багато трійок практичних чисел $x-2,x,x+2$ Шаблон:Sfn. Джузеппе Мелфі показав також, що існує нескінченно багато практичних чисел Фібоначчі (Шаблон:OEIS). Аналогічне питання про існування нескінченного числа Шаблон:Нп залишається відкритим. Гаусман і ШапіроШаблон:Sfn показали, що завжди існує практичне число в інтервалі $[x_2,(x+1{)}^2]$ для будь-якого додатного дійсного x, що є аналогом гіпотези Лежандра для простих чисел.

Нехай $p(x)$ підраховує кількість практичних чисел, що не перевершують $x$. МаргенштернШаблон:Sfn висловив гіпотезу, що $p(x)$ асимптотично дорівнює $\frac{cx}{\log x}$ для деякої сталої c, що нагадує формулу в теоремі про розподіл простих чисел і підсилює раніше твердження Ердеша і ЛокстонаШаблон:Sfn, що практичні числа мають щільність нуль у множині цілих чисел. СаєсШаблон:Sfn довів, що для відповідних констант c₁ і c₂

$c_1\frac{x}{\log x}<p(x)<c_2\frac{x}{\log x},$

Нарешті, ВайнгартнерШаблон:Sfn довів гіпотезу Маргенштерна, показавши, що

$p(x)=\frac{cx}{\log x}(1+O\left(\frac{\log \log x}{\log x}\right)),$

для $x⩾3$ і деякої константи $c>0$.

Література

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья. Як процитовано в Маргенштерна Шаблон:Harv.
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья Как процитировано у Маргенштерна Шаблон:Harv.
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга-ру
• Шаблон:Статья. Як процитовано в Маргенштерна Шаблон:Harv і Митриновича Шаблон:Harvtxt.
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга-ру
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья

Посилання

• Tables of practical numbers compiled by Giuseppe Melfi.
• Шаблон:PlanetMath
• Шаблон:MathWorld