Єгипетський дріб

Єгипетський дріб — в математиці сума різних одиничних дробів типу $\frac{1}{n}$, наприклад $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{16}$. Так що кожен дріб є виразом в якому чисельник дорівнює 1, а знаменник — додатне ціле число, причому так, що знаменники всі різні. Сума виразу такого типу — це додатне раціональне число a/b; наприклад сума вищенаведеного єгипетського дробу — 43/48. Кожне додатне раціональне число може бути представлене у вигляді єгипетського дробу. Суми такого типу та подібні їм з доданками 2/3 і 3/4 використовували стародавні єгипетські математики для запису раціональних чисел, їх продовжували використовувати і пізніші цивілізації аж до середніх віків. Звичайні дроби та десяткові дроби з часом витіснили єгипетські дроби зі вжитку. Все ж єгипетські дроби залишаються об'єктом досліджень сучасної теорії чисел та розважальної математики, а також в історичних студіях стародавньої математики.

Історія

Стародавній Єгипет

Додаткову інформацію за даним питанням див. в Єгипетська система числення.

Єгипетські дроби були винайдені і вперше використані в стародавньому Єгипті. Одним з перших відомих згадок про єгипетські дроби є математичний папірус Рінда. Три більш давніх тексти, в яких згадуються єгипетські дроби — це Єгипетський математичний шкіряний сувій, московський математичний папірус і дерев'яна табличка Ахмім. Папірус Рінда був написаний писарем Ахмесом в епоху Другого перехідного періоду; він включає таблицю єгипетських дробів для раціональних чисел виду 2/ n , а також 84 математичні задачі, їх рішення та відповіді, записані у вигляді єгипетських дробів.

Єгиптяни ставили ієрогліф <hiero>D21</hiero> (ер, «[один] з» або ре, рот) над числом для позначення одиничного дробу в звичайному записі, а в священних текстах використовували лінію. Наприклад:

<hiero>D21:Z1*Z1*Z1</hiero>

$=\frac{1}{3}$

<hiero>D21:V20</hiero>

$=\frac{1}{10}$

У них також були спеціальні символи для дробів 1/2, 2/3 і 3/4, якими можна було записувати також інші дроби (більші за 1/2).

<hiero>Aa13</hiero>

$=\frac{1}{2}$

<hiero>D22</hiero>

$=\frac{2}{3}$

<hiero>D23</hiero>

$=\frac{3}{4}$

Єгиптяни також використовували і інші форми запису, основані на ієрогліфі Око Гора для представлення спеціального набору дробів виду 1/2^k (для k = 1, 2, …, 6), тобто, двоелементних раціональних чисел. Такі дроби використовувалися разом з іншими формами записи єгипетських дробів для того, щоб поділити хекат (~ 4,785 л), основну міру обсягу в Давньому Єгипті. Цей комбінований запис також використовувався для вимірювання об'єму зерна, хліб а та пива. Якщо після запису кількості у вигляді дробу Ока Гору залишався якийсь залишок, його записували в звичайному вигляді кратно ро, одиниці виміру, рівний 1/320 Хекат.

Наприклад, так:<hiero>D21:V1*V1*V1-V20*V20:V20*Z1</hiero>

$=\frac{1}{331}$

При цьому "рот " містився перед усіма ієрогліфами.

Античність і Середньовіччя

Єгипетські дроби продовжували використовуватися в стародавній Греції і згодом математиками всього світу до Середньовіччя, незважаючи на наявні до них зауваження стародавніх математиків (наприклад, Клавдій Птолемей говорив про незручність використання єгипетських дробів в порівнянні з Вавилонською системою. Важливу роботу в дослідженні єгипетських дробів провів математик XIII століття Фібоначчі у своїй праці «Liber Abaci».

Основна тема «Liber Abaci» — обчислення, що використовують десяткові і звичайні дроби, що витіснили з часом єгипетські дроби. Фібоначчі використовував складний запис дробів, що включав запис чисел зі змішаною підставою і запис у вигляді сум дробів, часто використовувалися і єгипетські дроби. Також у книзі були наведені алгоритми перекладу зі звичайних дробів в єгипетські.

Алгоритм Фібоначчі

Перший метод розкладання довільного дробу на єгипетські складові описав Фібоначчі в XIII столітті. У сучасному записі його алгоритм можна викласти таким чином.

1. Дріб $\frac{m}{n}$ розкладається на 2 доданки:

$\frac{m}{n}=\frac{1}{\lceil n/m\rceil }+\frac{(-n)modm}{n\lceil n/m\rceil }.$

Тут $\lceil n/m\rceil$ — частка від ділення n на m, округлене до цілого в більшу сторону, а $(-n)modm$ — (додатня) остача від ділення -n на m.

2. Перший доданок у правій частині вже має вигляд єгипетського дробу. З формули видно, що чисельник другого доданка строго менше, ніж у вихідного дробу. Аналогічно, за тією ж формулою, розкладемо другий доданок і продовжимо цей процес, поки не отримаємо доданок з чисельником 1.

Метод Фібоначчі завжди сходиться після кінцевого числа кроків і дає розкладання, яке шукали. Приклад:

$\frac{7}{15}=\frac{1}{3}+\frac{2}{15}=\frac{1}{3}+\frac{1}{8}+\frac{1}{120}$

Але отримане таким методом розкладання може виявитися не найкоротшим. Приклад його невдалого застосування:

$\frac{5}{121}=\frac{1}{25}+\frac{1}{757}+\frac{1}{763309}+\frac{1}{873960180913}+\frac{1}{1527612795642093418846225},$

в той час як більш досконалі алгоритми призводять до розкладання:

$\frac{5}{121}=\frac{1}{33}+\frac{1}{121}+\frac{1}{363}.$

Розклад Енгеля

Шаблон:Докладніше Розклад Енгеля є ще одним методом представлення чисел у вигляді єгипетського дробу. Існує кілька алгоритмів виконання такого розкладу.

Сучасна теорія чисел

Сучасні математики продовжують досліджувати ряд задач, пов'язаних з єгипетськими дробом.

• В кінці минулого століття було дано оцінки максимального знаменника і довжини розкладання довільного дробу в єгипетські. Дріб x/y має розкладання в єгипетські дроби з максимальним знаменником не більше

$O\left(\frac{y{\log }^{2}y}{\log \log y}\right)$

і з числом доданків не більше:

$O\left(\sqrt{\log y}\right)$

• Шаблон:Не перекладено стверджує, що для всякої розмальовки цілих чисел більших 1 в r > 0 кольорів існує кінцеве однокольорове підмножина S цілих чисел, таких, що

$\sum _{n\in S}1/n=1.$

Ця гіпотеза доведена Шаблон:Не перекладено в 2003 році.

Відкриті проблеми

Єгипетські дроби ставлять ряд важких і донині невирішених математичних проблем.

• Шаблон:Не перекладено стверджує, що для будь-якого цілого числа n ≥ 2, існують додатні цілі x, y і z такі, що

$\frac{4}{n}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}.$

Комп'ютерні експерименти показують, що гіпотеза вірна для всіх n ≤ 10¹⁴, але доказ поки не знайдено. Узагальнення цієї гіпотези стверджує, що для будь-якого додатного k існує N таке, що для всіх n ≥ N існує розкладання

$\frac{k}{n}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}.$

Ця гіпотеза належить Шаблон:Не перекладено.

Література

• Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. Шаблон:Webarchive Перевод с голландского Н. Веселовского. М.: Физматгиз, 1959, 456 с. (Репринт: М.: УРСС, 2007)
• Нейгебауэр О. Лекции по истории античных математических наук (Догреческая математика). Т. 1. М.-Л.: ОНТИ, 1937.
• Нейгебауэр О. Точные науки в древности. М.: Наука, 1968. (Репринт: М.: УРСС, 2003)
• Раик А. Е. Очерки по истории математики в древности. Саранск, Мордовское гос. изд-во, 1977.
• Раик А. Е. К истории египетских дробей. Историко-математические исследования, 23, 1978, с. 181—191.
• Яновская С. А. К теории египетских дробей. Труды Института истории естествознания, 1, 1947, с. 269—282.
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book

Посилання

• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Cite web