Похідна зображення

Похідні́ зобра́ження (Шаблон:Lang-en) можливо обчислювати за допомогою маленьких згорткових фільтрів розміром 2 × 2 чи 3 × 3, таких як оператори Шаблон:Нп, Собеля, Робертса чи Прюітт. Проте більша маска загалом даватиме краще наближення похідної, й прикладами таких фільтрів є гауссові похідні та фільтри Ґабора. Іноді потрібно видаляти високочастотний шум, і це може бути включено до фільтра, так, що гауссове ядро діятиме як смуговий фільтр. Застосування фільтрів Ґабора в обробці зображень було вмотивовано деякою їхньою подібністю до сприйняття в зоровій системі людини.

Це піксельне значення обчислюється як згортка

$p{\text{'}}_u=𝐝\ast G$

де $𝐝$ — ядро похідної, $G$ — значення пікселів в області зображення, а $\ast$ — оператор, який виконує згортку.

Похідні Собеля

Ядра похідних, відомі як оператор Собеля, визначають наступним чином, для напрямів $u$ та $v$ відповідно:

$p{\text{'}}_u=\left[\begin{array}{ccc}+1& +2& +1\\ 0& 0& 0\\ -1& -2& -1\end{array}\right]*𝐆$ і $p{\text{'}}_v=\left[\begin{array}{ccc}+1& 0& -1\\ +2& 0& -2\\ +1& 0& -1\end{array}\right]*𝐆$

де $*$ тут позначує операцію двовимірної згортки.

Цей оператор роздільний, і його може бути розкладено як добуток ядер інтерполювання та диференціювання, так, що $p{\text{'}}_v$, наприклад, можливо записати як

$\left[\begin{array}{ccc}+1& 0& -1\\ +2& 0& -2\\ +1& 0& -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}+1& 0& -1\end{array}\right]$

Похідні Фарида та Сімончеллі

Фарид і Сімончеллі пропонують використовувати пару ядер, одне для інтерполювання, а інше для диференціювання (порівняйте з Собелем вище). Ці ядра, фіксованих розмірів 5 x 5 та 7 x 7, оптимізовано таким чином, що перетворення Фур'є наближує їхній правильний зв'язок із похідною.

У коді Matlab так званим 5-вентильним фільтром є

k  = [0.030320  0.249724  0.439911  0.249724  0.030320];
d  = [0.104550  0.292315  0.000000 -0.292315 -0.104550];
d2 = [0.232905  0.002668 -0.471147  0.002668  0.232905];

А 7-вентильним фільтром є

k  = [ 0.004711  0.069321  0.245410  0.361117  0.245410  0.069321  0.004711];
d  = [ 0.018708  0.125376  0.193091  0.000000 -0.193091 -0.125376 -0.018708];
d2 = [ 0.055336  0.137778 -0.056554 -0.273118 -0.056554  0.137778  0.055336];

Як приклад, похідні першого порядку можливо обчислювати наступним, з використанням Matlab, щоби виконувати згортку

Iu = conv2(d, k, im, 'same');  % похідна по вертикалі (wrt Y)
Iv = conv2(k, d, im, 'same');  % похідна по горизонталі (wrt X)

Слід зазначити, що Фарид і Сімончеллі вивели коефіцієнти першої похідної, точніші порівняно з наданими вище. Проте останні узгоджуються з інтерполятором другої похідної, й відтак їх краще використовувати, якщо шукають як першу, так і другу похідні. У протилежному випадку, коли потрібна лише перша похідна, слід використовувати оптимальні коефіцієнти першої похідної; більше деталей можливо знайти в їхній статті.

Похідні Гаста

Фільтри похідних на основі довільних кубічних сплайнів було запропоновано Гастом. Він показав, як можливо правильніше обчислювати похідні як першого, так і другого порядків, за допомогою кубічних або тригонометричних сплайнів. Щоби похідна обчислювалася для центрального пікселя, ефективним фільтрам похідних потрібно мати непарну довжину. Проте будь-який кубічний фільтр допасовується до 4 ви́біркових точок, даючи центр між пікселями. Це розв'язується за допомогою підходу подвійного фільтрування, що дає фільтри розміром 7 x 7. Ідея в тому, щоби спершу фільтрувати інтерполяцією, отримуючи таким чином інтерпольовані значення між пікселями, після чого повторювати процедуру з використанням похідних фільтрів, де центральне значення тепер припадає на центри пікселів. Це легко довести за допомогою асоціативного закону для згортки

$p{\text{'}}_u=𝐝\ast (𝐤\ast G)=(𝐝\ast 𝐤)\ast G$

Отже, ядром згортки для обчислення похідної ${𝐤}_{𝐝}$ з використанням інтерполювального ядра $𝐤$ та ядра похідної $𝐝$ стає

${𝐤}_{𝐝}=𝐝\ast 𝐤$

Також майте на увазі, що згортка комутативна, тому порядок цих двох ядер неважливий, і також можливо вставити похідну другого порядку, як і ядро похідної першого порядку. Ці ядра виводять з того факту, що будь-яку сплайнову поверхню можливо допасувати над квадратною областю пікселів, порівняйте з поверхнями Безьє. Гаст доводить, що таку поверхню можливо виконувати як роздільну згортку

$p(u,v)={𝐮}^{T}MG{M}^T𝐯=M^T𝐮\otimes {𝐯}^{T}M\ast G$

де $M$ — матриця сплайнової основи, а $𝐮$ та $𝐯$ — вектори, що містять змінні $u$ та $v$, як-от

$𝐮=[u^3,u^2,u,1{]}^T$

$𝐯=[v^3,v^2,v,1{]}^T$

Тепер можливо встановити ядра згортки в

$𝐤={𝐮}^{T}M=(M^T𝐯{)}^T$

$𝐝=\frac{\partial {𝐮}^T}{\partial u}M={\left(M^T\frac{\partial 𝐯}{\partial v}\right)}^T$

${𝐝}^{\mathrm{𝟐}}=\frac{{\partial }^2{𝐮}^T}{\partial u^2}M={\left(M^T\frac{{\partial }^2𝐯}{\partial v^2}\right)}^T$

Похідні першого порядку в центральному пікселі відтак обчислюють як

$D_u=\frac{\partial {𝐮}^T}{\partial u}M\ast {𝐮}^{T}MG{M}^T𝐯\ast M^T𝐯=𝐝\ast 𝐤\otimes (𝐤\ast 𝐤{)}^T\ast G$

і

$D_v={𝐮}^{T}M\ast {𝐮}^{T}MG{M}^T𝐯\ast M^T\frac{\partial 𝐯}{\partial v}=𝐤\ast 𝐤\otimes (𝐝\ast 𝐤{)}^T\ast G$

Так само, ядрами похідної другого порядку є

$D_u^2=\frac{{\partial }^2{𝐮}^T}{\partial u^2}M\ast {𝐮}^{T}MG{M}^T𝐯\ast M^T𝐯={𝐝}^{\mathrm{𝟐}}\ast 𝐤\otimes (𝐤\ast 𝐤{)}^T\ast G$

і

$D_v^2={𝐮}^{T}M\ast {𝐮}^{T}MG{M}^T𝐯\ast M^T\frac{{\partial }^2𝐯}{\partial v^2}=𝐤\ast 𝐤\otimes ({𝐝}^{\mathrm{𝟐}}\ast 𝐤{)}^T\ast G$

Кубічносплайновий фільтр оцінюють у його центрі $u=v=0.5$, й відтак

$𝐮=𝐯=[(0.5{)}^3,(0.5{)}^2,0.5,1{]}^T=[0.125,0.25,0.5,1{]}^T$

Подібним чином, похідними першого порядку стають

$\frac{\partial 𝐮(0.5)}{\partial u}=\frac{\partial 𝐯(0.5)}{\partial v}=[3\cdot (0.5{)}^2,2\cdot (0.5),1,0{]}^T=[0.75,1,1,0{]}^T$

І подібним же чином похідними другого порядку є

$\frac{d^2𝐮(0.5)}{u^2}=\frac{d^2𝐯(0.5)}{d{v}^2}=[6\cdot (0.5),2,0,0{]}^T=[3,2,0,0{]}^T$

Для обчислення похідних зображення за допомогою наведених вище рівнянь можливо застосовувати й використовувати будь-який кубічний фільтр, як-от Безьє, Ерміта, чи B-сплайни.

У наведеному нижче прикладі мовою Matlab для обчислення похідних використано сплайн Кетмелла — Рома

M = [1,-3,3,-1; -1,4,-5,2; 0,1,0,-1; 0,0,2,0] * 0.5;
u = [0.125;0.25;0.5;1];
up = [0.75;1;1;0];
d = up'*M;
k = u'*M;
Iu = conv2(conv(d,k), conv(k,k), im,'same');  % вертикальна похідна (wrt Y)
Iv = conv2(conv(k,k), conv(d,k), im,'same');  % горизонтальна похідна (wrt X)

Інші підходи

Для обчислення похідних можливо використовувати керовані фільтри. Крім того, Савицький та Голей пропонують Шаблон:Нп поліномного згладжування методом найменших квадратів, який можливо використовувати для обчислення похідних, а Луо зі співавт. обговорюють цей підхід докладніше. Шарр показує, як створювати фільтри похідних шляхом мінімізації похибки в області Фур'є, а Єне зі співавт. докладніше обговорюють принципи проєктування фільтрів, включно з фільтрами похідних.

Посилання

• derivative5.m Фарид і Сімончеллі: 5-вентильні перша та друга дискретні похідні.
• derivative7.m Фарид і Сімончеллі: 7-вентильні перша та друга дискретні похідні
• kernel.m Гаст: 1-а та 2-га дискретні похідні для кубічних сплайнів, сплайнів Кетмелла — Рома, сплайнів Безьє, B-сплайнів, та тригонометричних сплайнів.