Поліноми Ґеґенбауера

Шаблон:Ортогональні поліноми Поліноми Ґеґенбауера або ультрасфери́чні поліноми — поліноми, ортогональні на відрізку [−1,1] з вагою $(1-z^2{)}^{\alpha -1/2}$ і є узагальненням поліномів Лежандра і Чебишева. Їх можна явно записати у вигляді суми

$C_n^{(\alpha )}(z)=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1{)}^k\frac{\mathrm{\Gamma }(n-k+\alpha )}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )k!(n-2k)!}(2z{)}^{n-2k}=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }\frac{(-1{)}^k(\alpha {)}_{n-k}}{k!(n-2k)!}(2z{)}^{n-2k},$

де $\mathrm{\Gamma }(s)$ — гамма-функція, $\lfloor n/2\rfloor$ позначає цілу частину числа $n/2$, а $(\cdot {)}_m$ — символ Похгаммера.

Щоб вагова функція була дійснозначною та інтегровною часто накладають обмеження $\alpha >-\frac{1}{2}$, хоча більшість формальних співвідношень залишаються справедливими для довільного $\alpha$.

Згідно наведено вище означення $C_n^{(0)}(z)=0$ і часто у випадку $\alpha =0$ функцію $C_n^{(0)}(z)$ перевизначають окремо (див. розділ «Зв'язок з іншими функціями»).

Поліноми Ґеґенбауера є частковим випадком поліномів Якобі. Вперше введені у 1875 році в докторській дисертації австрійського математика Леопольда Ґеґенбауера (1849—1903) та були пізніше названі на його честь. Варто відзначити, що після захисту дисертації протягом наступних трьох років Л. Ґеґенбауер працював професором математики в Чернівецькому університеті, на той час — Університеті Франца-Йосифа (Шаблон:Lang-de).

Приклади

Графіки поліномів Ґеґенбауера при $\alpha =1$

Перші шість поліномів Ґеґенбауера:Шаблон:Sfn

$\begin{array}{cc}{C}_0^{\alpha }(z)& =1,\\ C_1^{\alpha }(z)& =2\alpha z,\\ C_2^{\alpha }(z)& =2\alpha (1+\alpha )z^2-\alpha ,\\ C_3^{\alpha }(z)& =\frac{4}{3}\alpha (1+\alpha )(2+\alpha )z^3-2\alpha (1+\alpha )z,\\ C_4^{\alpha }(z)& =\frac{2}{3}\alpha (1+\alpha )(2+\alpha )(3+\alpha )z^4-2\alpha (1+\alpha )(2+\alpha )z^2+\frac{1}{2}\alpha (1+\alpha ),\\ C_5^{\alpha }(z)& =\frac{4}{15}\alpha (1+\alpha )(2+\alpha )(3+\alpha )(4+\alpha )z^5-\frac{4}{3}\alpha (1+\alpha )(2+\alpha )(3+\alpha )z^3+\alpha (1+\alpha )(2+\alpha )z.\end{array}$

Значення в деяких точках

Мають місце такі співвідношення:

• при $x=0$

$C_{2n}^{(\alpha )}(0)=\frac{(-1{)}^n(\alpha {)}_n}{(n)!}$,       $C_{2n-1}^{(\alpha )}(0)=0;$

• при $x=1$

$C_n^{(\alpha )}(1)=\frac{(2\alpha {)}_n}{n!};$

• при $x=-1$

$C_n^{(\alpha )}(-1)=(-1{)}^n\frac{(2\alpha {)}_n}{n!}.$

Властивості

• Функція $C_n^{(\alpha )}(z)$ є поліномом степеня $n$ відносно $z$ та $\alpha$ і визначена для довільних $z,\alpha \in ℂ$.

• Як і всі ортогональні поліноми функція $C_n^{(\alpha )}(z)$, $\alpha >-\frac{1}{2}$, має тільки прості нулі, які всі лежать на відрізку $[-1,1]$. Нулі розташовані симетрично відносно початку координат. Нулі поліномів $C_n^{(\alpha )}(z)$ та $C_{n+1}^{(\alpha )}(z)$ чергуються.

Позначимо через $x_m,m=1,\dots ,n,$ нулі многочлена $C_n^{(\alpha )}(z)$ розташовані у порядку спадання:

$C_n^{(\alpha )}(x_m)=0,-1<x_n<x_{n-1}<\cdots <x_1<1,$

Нулі розташовані симетрично $x_m=-x_{n-m},m=1,\dots ,[n/2],$. Для нулів на інтеравалі [0,1] введемо позначення

$x_m=\cos ({\theta }_m),{\theta }_1<\cdots <{\theta }_m,m=1,\dots ,[n/2].$

Тоді мають місце оцінки:Шаблон:Sfn

$(m-\frac{1}{2})\frac{\pi }{n}\le {\theta }_m\le \frac{m\pi }{n+1},m=1,\dots ,[n/2].$

• Поліном $C_n^{(\alpha )}(z)$ містить члени лише тієї ж парності, що й саме число $n$:

$C_n^{(\alpha )}(-z)=(-1{)}^n{C}_n^{(\alpha )}(z),n=0,1,2,\dots .$

Зв'язок з іншими функціями

• Поліноми Лежандра $P_n(z)$ є частковим випадком поліномів Ґеґенбауера при $\alpha =\frac{1}{2}$:

$P_n(z)=C_n^{(1/2)}(z).$

У загальному випадку поліноми Ґеґенбауера півцілого верхнього індексу можна виразити через поліноми Лежандра:

$C_n^{(m+\frac{1}{2})}(z)=\sum _{k_1=0}^n\cdots \sum _{k_{2m+1}=0}^n{\delta }_{n,l}\prod _{j=1}^{2m+1}{P}_{k_j}(z),l=\sum _{j=1}^{2m+1}{k}_j,$

де ${\delta }_{n,l}$ — символ Кронекера, або через похідну від полінома Лежандра:

$C_n^{(m+\frac{1}{2})}(z)=\frac{2^{m}m!}{(2m)!}\frac{d^m}{d{z}^m}{P}_{n+m}(z),m=0,1,2,\dots .$

• Приєднана функція Лежандра першого роду також може бути виражена через поліноми Ґеґенбауера:

$P_n^m(z)=\frac{(-1{)}^m}{\sqrt{\pi }}\mathrm{\Gamma }(m+\frac{1}{2})2^m(1-z^2{)}^{\frac{m}{2}}{C}_{n-m}^{(m+\frac{1}{2})}(z).$

• Поліноми Чебишева першого роду $T_n(z)$ є частковим випадком поліномів Ґеґенбауера при $\alpha \to 0$:

$T_n(z)=\frac{n}{2}\underset{\alpha \to 0}{\lim }(\frac{1}{\alpha }{C}_n^{(\alpha )}(z)).$

Це співвідношення беруть за означення полінома Ґеґенбауера індекса $\alpha =0$, тобто $C_n^{(0)}(z):=T_n(z)$.

• Поліноми Чебишева другого роду $U_n(z)$ є частковим випадком поліномів Ґеґенбауера при $\alpha =1$

$U_n(z)=C_n^{(1)}(z).$

У загальному випадку поліноми Ґеґенбауера цілого верхнього індексу можна виразити через поліноми Чебишева:

$C_n^{(m)}(z)=\sum _{k_1=0}^n\cdots \sum _{k_m=0}^n{\delta }_{n,l}\prod _{j=1}^m{U}_{k_j}(z),l=\sum _{j=1}^m{k}_j,m=1,2,\dots ,$

де ${\delta }_{n,l}$ — символ Кронекера, або за допомогою операції диференціювання:

$C_n^{(m)}(z)=\frac{2^{-m+1}m!}{(m-1)!(n+m)}\frac{d^m}{d{z}^m}{T}_{n+m}(z),m=1,2,\dots .$

• Поліноми Ерміта також можуть бути виражені як граничний випадок поліномів $C_n^{(\alpha )}(z)$:

$H_n(z)=\frac{n!}{2}\underset{\alpha \to 0}{\lim }\left({\alpha }^{-\frac{n}{2}}{C}_n^{(\alpha )}\left(\frac{z}{\sqrt{\alpha }}\right)\right).$

• Поліноми Ґеґенбауера можна виразити через скінченний гіпергеометричний ряд:

$C_n^{(\alpha )}(z)=\frac{(2\alpha {)}_n}{n!}{}_2{F}_1(-n,2\alpha +n;\alpha +\frac{1}{2};\frac{1}{2}(1-z)),\alpha +\frac{1}{2}\ne -n,n\in \mathbb{N},$

$C_{2m}^{(\alpha )}(z)=(-1{)}^m\frac{(\alpha {)}_m}{m!}{}_2{F}_1(-m,\alpha +m;\frac{1}{2};x^2),C_{2m+1}^{(\alpha )}(z)=(-1{)}^m\frac{(\alpha {)}_{m+1}}{m!}{}_2{F}_1(-m,\alpha +m+1;\frac{3}{2};x^2).$

Це співвідношення дозволяє розширити означення функції $C_n^{(\alpha )}(z)$ на випадок довільного дійсного (комплесного) значення індексу $n$. Так означена функція $C_{\beta }^{(\alpha )}(z)$ називається функцією Ґеґенбауера і у випадку натурального $\beta$ збігається з поліномом Ґеґенбауера.

• Поліноми Ґеґенбауера є частковим випадком поліномів Якобі $P_n^{(\mu ,\nu )}(z)$ при $\mu =\nu =\alpha -\frac{1}{2}$:

$C_n^{(\alpha )}(z)=\frac{(2\alpha {)}_n}{(\alpha +\frac{1}{2}{)}_n}{P}_n^{(\alpha -1/2,\alpha -1/2)}(z),$

де $(\cdot {)}_n$ — символ Похгаммера.

Твірна функція та формула Родріга

Твірна функція поліномів Ґеґенбауера Шаблон:Sfn:

$\frac{1}{(1-2zt+t^2{)}^{\alpha }}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_n^{(\alpha )}(z)t^n.$

Вони можуть бути виражені за допомогою формули Родріга

$C_n^{(\alpha )}(z)=\frac{(-2{)}^n}{n!}\frac{\mathrm{\Gamma }(n+\alpha )\mathrm{\Gamma }(n+2\alpha )}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )\mathrm{\Gamma }(2n+2\alpha )}(1-z^2{)}^{-\alpha +1/2}\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{z}^n}[(1-z^2{)}^{n+\alpha -1/2}].$

Рекурентні співвідношення

Для поліномів Ґеґенбауера виконується рекурентне співвідношення по індексу $n$, яке можна застосовувати для знаходження поліномів при $n\ge 2$:

$C_0^{(\alpha )}(z)=1,C_1^{(\alpha )}(z)=2\alpha z,C_{n+1}^{(\alpha )}(z)=\frac{1}{n+1}[2z(n+\alpha )C_n^{(\alpha )}(z)-(n+2\alpha -1)C_{n-1}^{(\alpha )}(z)].$

Рекурентне співвідношення по індексу $\alpha$:

$C_n^{(\alpha +1)}(z)=\frac{2\alpha z^2+2n(z^2-1)+4\alpha -1}{2\alpha (z^2-1)}{C}_n^{(\alpha )}(z)+\frac{(n+2\alpha -2)(n+2\alpha -1)}{4\alpha (\alpha -1)(z^2-1)}{C}_n^{(\alpha -1)}(z).$

Інші формули:

$C_n^{(\alpha )}(z)=z{C}_n^{(\alpha )}(z)+\frac{n+2\alpha -2}{2\alpha -2}{C}_n^{(\alpha -1)}(z),$

$C_n^{(\alpha )}(z)=\frac{(n+1)z}{n+2\alpha }{C}_{n+1}^{(\alpha )}(z)-\frac{2\alpha (z^2-1)}{n+2\alpha }{C}_n^{(\alpha +1)}(z),$

$n(n+2\alpha )C_n^{(\alpha )}(z)-2\alpha (2\alpha +1)z{C}_{n-1}^{(\alpha +1)}(z)-4\alpha (\alpha +1)(z^2-1)C_{n-2}^{(\alpha +2)}(z)=0.$

Диференціальні властивості

Похідна полінома Ґеґенбауера виражається через поліном зі зміщеним індексом

$\frac{d}{dz}{C}_n^{(\alpha )}(z)=2\alpha C_{n-1}^{(\alpha +1)}(z)$

або у загальному випадку

$\frac{d^m}{d{z}^m}{C}_n^{(\alpha )}(z)=2^m(\alpha {)}_m{C}_{n-m}^{(\alpha +m)}(z).$

Похідна від добутку на вагову функцію

$\frac{d}{dz}((1-z^2{)}^{\alpha -\frac{1}{2}}{C}_n^{(\alpha )}(z))=-\frac{(n+1)(n+2\alpha +1)}{2(\alpha -1)}(1-z^2{)}^{\alpha -\frac{3}{2}}{C}_{n+1}^{(\alpha -1)}(z).$

Похідна полінома Ґеґенбауера по параметру $\alpha$ також може бути обчислена через поліноми за наступною формулою:

$\frac{d}{d\alpha }{C}_n^{(\alpha )}(z)=\sum _{k=0}^{n-1}(\frac{2(1+(-1{)}^{n-k})(k+\alpha )}{(n+k+2\alpha )(n-k)}{C}_k^{(\alpha )}(z)+(\frac{2(k+1)}{(k+2\alpha )(2k+2\alpha +1)}+\frac{2}{(n+k+2\alpha )})C_n^{(\alpha )}(z)).$

Диференціальне рівняння

Поліноми Ґеґенбауера є частковим розв'язком диференціального рівняння, яке називають рівнянням Ґеґенбауера Шаблон:Sfn

$(1-z^2)\frac{{\mathrm{d}}^{2}y(z)}{\mathrm{d}{z}^2}-(2\alpha +1)z\frac{\mathrm{d}y(z)}{\mathrm{d}z}+n(n+2\alpha )y(z)=0.$

Загальний розв'язок вказаного рівняння зображується у вигляді

$y(z)=A{C}_n^{(\alpha )}(z)+B(1-z^2{)}^{\frac{1-2\alpha }{4}}{Q}_{n+\alpha -\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}-\alpha }(z),$

де $Q_{\nu }^{\mu }(z)$ — приєднана функція Лежандра другого роду, $A,B$ — довільні сталі.

Ортогональність

Зауваження. Всі співвідношення цього розділу справедливі за умови $\alpha >-\frac{1}{2}$, $-1\le z\le 1$.

Для заданого $\alpha >-\frac{1}{2}$ поліноми Ґеґенбауера ортогональні на відрізку [−1,1] с вагою $(1-z^2{)}^{\alpha -1/2}$, тобто (при $n\ne m$)Шаблон:Sfn,

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{C}_n^{(\alpha )}(z)C_m^{(\alpha )}(z)(1-z^2{)}^{\alpha -1/2}\mathrm{d}z=0,$

причому виконується умова нормування Шаблон:Sfn

$\Vert C_n^{(\alpha )}(z){\Vert }^2=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{[C_n^{(\alpha )}(z)]}^2(1-z^2{)}^{\alpha -1/2}\mathrm{d}z=\frac{2^{1-2\alpha }\pi \mathrm{\Gamma }(n+2\alpha )}{n!(n+\alpha )[\mathrm{\Gamma }(\alpha ){]}^2}.$

Як наслідок, функції

${\psi }_n^{\alpha }(z):=\frac{2^{\frac{1}{2}-\alpha }\sqrt{\pi \mathrm{\Gamma }(n+2\alpha )}}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )\sqrt{n!(n+\alpha )}}(1-z^2{)}^{\frac{1-2\alpha }{4}}{C}_n^{(\alpha )}(z),n=0,1,2,\dots ,$

утворюють ортонормований базис у просторі $L^2[-1,1]$. Довільна функція $f(z)\in L^2[-1,1]$ може бути розвинена в узагальнений ряд Фур'є по набору функцій $\{{\psi }_n^{\alpha }(z){\}}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$:

$f(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{f}_k{\psi }_k^{\alpha }(z),f_k=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f(z){\psi }_k^{\alpha }(z)dz.$

Також розвинення можна будувати безпосередньо по многочленах Ґеґенбауера у ваговому просторі Лебега $L_w^2[-1,1]$:Шаблон:Sfn

$L_w^2[-1,1]:=\{f(z):\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{f}^2(z)w(z)dz<\mathrm{\infty }\},w(z)=(1-z^2{)}^{\alpha -1/2},$

за формулами:

$f(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{f}_k{C}_k^{(\alpha )}(z),f_k=\frac{1}{N_k}\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f(z)C_k^{(\alpha )}(z)dz,N_k=\frac{2^{1-2\alpha }\pi \mathrm{\Gamma }(k+2\alpha )}{k!(k+\alpha )[\mathrm{\Gamma }(\alpha ){]}^2}.$

Приклади розвинень

$\mathrm{sgn}(z)=4\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k(\alpha {)}_k}{(2k+1)(2k+2\alpha +1)k!}\frac{C_{2k+1}^{(\alpha )}(z)}{N_{2k+1}},$

де $\mathrm{sgn}(z)$ — функція знаку.

$(1-z{)}^{\beta }=\frac{2^{2\alpha +\beta }}{\sqrt{\pi }}\mathrm{\Gamma }(\alpha )\mathrm{\Gamma }(\alpha +\beta +\frac{1}{2})\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(k+\alpha )(-\beta {)}_k}{\mathrm{\Gamma }(k+2\alpha +\beta +1)}{C}_k^{(\alpha )}(z),-\beta <(\alpha +1)/2,\text{при}\alpha >0;-\beta <\frac{1}{2}+\alpha ,\text{при}-\frac{1}{2}<\alpha <0.$

Двовимірні розвинення:

$\exp (ixy)=\mathrm{\Gamma }(\alpha ){\left(\frac{y}{2}\right)}^{-\alpha }\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{i}^k(k+\alpha )J_{k+\alpha }(y)C_k^{(\alpha )}(x),\alpha >0,$

де $J_n(y)$ — функція Бесселя першого роду.

$(1-x^2{)}^{\frac{1-2\alpha }{4}}(1-y^2{)}^{\frac{1-2\alpha }{4}}=\frac{{\mathrm{\Gamma }}^2(\alpha )}{\pi 2^{1-2\alpha }}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{k!(k+\alpha )}{\mathrm{\Gamma }(k+2\alpha )}{C}_k^{(\alpha )}(x)C_k^{(\alpha )}(y).$

Представлення через суми та ряди

Поліноми Ґеґенбауера $C_n^{(\alpha )}(z)$ можна записати у вигляді суми по степенях $z$ або $\alpha$ за відповідними формулами:

$C_n^{(\alpha )}(z)=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }\frac{(-1{)}^k(\alpha {)}_{n-k}}{k!(n-2k)!}(2z{)}^{n-2k},$

$C_n^{(\alpha )}(z)=\sum _{k=1}^n\sum _{j=0}^{\lfloor n/2\rfloor }\frac{(-1{)}^{k+n}(2z{)}^{n-2j}s(n-j,k)}{j!(n-2j)!}{\alpha }^k,$

де $s(n-j,k)$ — числа Стірлінга першого роду.

Розвиненням в ряд Тейлора в околі довільної точки $z=z_0$ буде скінчення сума:

$C_n^{(\alpha )}(z)=\sum _{k=0}^n\frac{2^k(\alpha {)}_k}{k!}{C}_{n-k}^{(\alpha +k)}(z_0)(z-z_0{)}^k.$

Інтегральне представлення

Поліноми Ґеґенбауера допускають інтегральне представлення:

через інтеграл по дійсній змінній:

$C_n^{(\alpha )}(z)=\frac{2^{1-2\alpha }\pi \mathrm{\Gamma }(n+2\alpha )}{n!(n+\alpha )[\mathrm{\Gamma }(\alpha ){]}^2}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}(z+\cos t\cdot \sqrt{z^2-1}{)}^n(\sin t{)}^{2\alpha -1}dt,$

через контурний інтеграл:

$C_n^{(\alpha )}(z)=\frac{1}{2\pi i}\underset{\gamma }{\int }\frac{du}{u^{n+1}(1-2zu+u^2{)}^{\alpha }},$

де $\gamma$ — довільний контур в комплексній області, що містить одиничний круг.

Ряд інших інтегральних тотожностей:

$\int C_n^{(\alpha )}(z)dz=\frac{1}{2(\alpha -1)}{C}_{n+1}^{(\alpha -1)}(z)+C,$

$\int C_n^{(\frac{3}{2})}(z)dz=P_{n+1}(z)+C,\int C_n^{(2)}(z)dz=\frac{1}{2}{U}_{n+1}(z)+C,$

$\int (1-z^2{)}^{\alpha -\frac{1}{2}}{C}_n^{(\alpha )}(z)dz=-\frac{2\alpha (1-z^2{)}^{\alpha +\frac{1}{2}}}{n(n+2\alpha )}{C}_{n-1}^{(\alpha +1)}(z)+C.$

Асимптотична поведінка

Наведені формули характеризують поведінку поліномів Ґеґенбауера в околі різних значень параметра $\alpha$ та змінної $z$:

$C_n^{(\alpha )}(z)\approx \frac{2^n\sqrt{\pi }\mathrm{\Gamma }(\alpha +\frac{1}{2})}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )\mathrm{\Gamma }(\frac{1-n}{2})n!}(1+O(z));C_n^{(\alpha )}(z)\approx \frac{\mathrm{\Gamma }(2\alpha +n)}{\mathrm{\Gamma }(2\alpha )n!}(1+O(z-1)),-\alpha -\frac{1}{2}\ne \mathbb{N};$

$C_n^{(\alpha )}(z)\approx \frac{(-1{)}^n(2\alpha {)}_n}{n!}(1+O(z+1));C_n^{(\alpha )}(z)\approx \frac{2^n{z}^n(\alpha {)}_n}{n!}(1+O\left(\frac{1}{z^2}\right));$

$C_n^{(\alpha )}(z)\approx C_n^{(0)}(z)\alpha (1+O(\alpha )),n>0;C_n^{(\alpha )}(z)\approx \frac{(2z{)}^n{\alpha }^n}{n!}(1+O\left(\frac{1}{\alpha }\right)).$

Нерівності та оцінки

Справедливі такі оцінки:Шаблон:Sfn

$\underset{-1\le z\le 1}{\max }|C_n^{(\alpha )}(z)|=C_n^{(\alpha )}(1)=\frac{(2\alpha {)}_n}{n!},\alpha >0$

$\underset{-1\le z\le 1}{\max }|C_{2m}^{(\alpha )}(z)|=|C_{2m}^{(\alpha )}(0)|=\left|\frac{(\alpha {)}_m}{m!}\right|,-m<\alpha <0,\alpha \ne \mathbb{Z},$

$\underset{-1\le z\le 1}{\max }|C_{2m+1}^{(\alpha )}(z)|<\frac{2|(\alpha {)}_{m+1}|}{m!\sqrt{(2m+1)(2m+2\alpha +1)}},-m-\frac{1}{2}<\alpha <0,\alpha \ne \mathbb{Z},$

$(1-z^2{)}^{\alpha }|C_n^{(\alpha )}(z)|<{\left(\frac{n}{2}\right)}^{\alpha }\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )},0<\alpha <1,z\in [-1,1].$

При $z\ge -1,\alpha \ge 1/4$ справедлива наступна нерівність:

$\sum _{j=0}^n\frac{C_j^{(\alpha )}(z)}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{2\alpha +j-1}{j})}\ge 0,(\genfrac{}{}{0ex}{}{2\alpha +j-1}{j})=\frac{(2\alpha +j-1)(2\alpha +j-2)(2\alpha +j-3)\cdots (2\alpha )}{j(j-1)(j-2)\cdots 1}.$

Поліноми Ґеґенбауера від косинуса полярного кута

Поліном Ґеґенбауера від косинуса полярного кута $\theta$ може бути представлений у вигляді сумиШаблон:Sfn

$C_n^{(\alpha )}(\cos \theta )=\sum _{k=0}^n\frac{(\alpha {)}_k(\alpha {)}_{n-k}}{k!(n-k)!}\cos ((n-2k)\theta ),$

або через інтеграл від дійсного параметра:

$C_n^{(\alpha )}(\cos \theta )=\frac{2^{\alpha }\mathrm{\Gamma }(\alpha +\frac{1}{2})(2\alpha {)}_n}{n!\mathrm{\Gamma }(\alpha )\sqrt{pi}}\underset{0}{\overset{\theta }{\int }}\frac{\cos ((n+\alpha )\varphi )}{(\cos \varphi -\cos \theta {)}^{1-\alpha }}d\varphi .$

Зауваження. Наведені вище формули справедливі для косинуса взагалі, без прив'язки до сферичної системи координат.

При повороті точки заданої в сферичній системі координатами $(r,\theta ,\phi )$ на кут нутації $\beta$ новий кут ${\theta }^{\prime }$ визначається рівністю

$\cos {\theta }^{\prime }=\cos \theta \cos \beta +\sin \theta \sin \beta \cos \phi .$

Справедлива формула додавання:

$C_n^{(\alpha )}(\cos {\theta }^{\prime })=\sum _{k=0}^n\frac{(\alpha {)}_k(n-k)!}{(\alpha +\frac{1}{2}{)}_k(2k+2\alpha {)}_{n-k}}{\sin }^k\theta {\sin }^k\beta C_{n-k}^{(\alpha +k)}(\cos \theta )C_{n-k}^{(\alpha +k)}(\cos \beta )C_k^{(\alpha +\frac{1}{2})}(\cos \phi )$

або

$C_n^{(\alpha )}(xy+\gamma \sqrt{(1-x^2)(1-y^2)})=\sum _{k=0}^n\frac{(\alpha {)}_k(n-k)!}{(\alpha +\frac{1}{2}{)}_k(2k+2\alpha {)}_{n-k}}(1-x^2{)}^{k/2}(1-y^2{)}^{k/2}{C}_{n-k}^{(\alpha +k)}(x)C_{n-k}^{(\alpha +k)}(y)C_k^{(\alpha +\frac{1}{2})}(\gamma )$

після заміни $x=\cos \theta ,y=\cos \beta ,\gamma =\cos \phi$.

Випадок комплексного аргументу

Симетрія відносно операції комплексного спряження:

$C_n^{(\overline{\alpha })}(\overline{z})=\overline{C_n^{(\alpha )}(z)}.$

Якщо $z=x+iy$, де $x$ і $y$ — дійсні змінні ($\alpha$ також дійсне), то дійсна та уявна частини поліномів Ґеґенбауера можуть бути записані в такому вигляді:

$\mathrm{R}\mathrm{e}[C_n^{(\alpha )}(x+\mathrm{i}y)]=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }\frac{(-1{)}^k{2}^{2k}(\alpha {)}_{2k}}{(2k)!}{C}_{n-2k}^{(2k+\alpha )}(x)y^{2k},$

$\mathrm{I}\mathrm{m}[C_n^{(\alpha )}(x+\mathrm{i}y)]=\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }\frac{(-1{)}^k{2}^{2k+1}(\alpha {)}_{2k+1}}{(2k+1)!}{C}_{n-2k-1}^{(2k+\alpha +1)}(x)y^{2k+1}.$

Застосування

Поліноми Ґеґенбауера природно виникають як узагальнення поліномів Лежандра у теорії потенціалу та гармонічному аналізі. А саме, ньютонівський потенціал в ${ℝ}^n$ допускає такий розклад:

$\frac{1}{|𝐱-𝐲{|}^{n-2}}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{|𝐱{|}^k}{|𝐲{|}^{k+n-2}}{C}_k^{(\alpha )}(𝐱\cdot 𝐲),\alpha =\frac{n-2}{2},𝐱\cdot 𝐲=x_1{y}_1+\cdots +x_n{y}_n,𝐱,𝐲\in {ℝ}^n.$

Зокрема, при $n=3$ ця формула дає розклад гравітаційного потенціалу по поліномах Лежандра.

Подібні розвинення мають місце для інтегрального ядра у формулі Пуассона для кулі (див. Stein & Weiss, 1971).

Поліноми Ґеґенбауера виникають при знаходженні власних функцій кутової частини $n$-вимірного оператора Лапласа і, відповідно, входять до виразу для багатовимірних сферичних (ультрасферичних) гармонік:

$Y_l(\mathrm{\Theta })=e^{i{m}_{n-1}{\theta }_{n-1}}\prod _{k=1}^{n-2}{\sin }^{m_k}({\theta }_k)C_{m_{k-1}-m_k}^{(m_k+(n-k)/2)}(\cos {\theta }_k),$

де $\mathrm{\Theta }=({\theta }_1,\dots ,{\theta }_{n-1})$ — кутові координати в $n$-вимірній сферичній системі координат,

$m_1=l,l\ge m_2\ge m_3\ge \dots \ge m_{n-1}\ge 0,l=0,1,2,\dots .$

Також вони з'являються у імпульсному зображенні хвильової функції атома водню:

$\varphi (p,{\vartheta }_p,{\phi }_p)=\sqrt{\frac{2}{\pi }\frac{(n-l-1)!}{(n+l)!}}{n}^2{2}^{2l+2}l!\frac{n^l{p}^l}{(n^2{p}^2+1{)}^{l+2}}{C}_{n-l-1}^{(l+1)}\left(\frac{n^2{p}^2-1}{n^2{p}^2+1}\right)Y_l^m({\vartheta }_p,{\phi }_p),$

де $p$ — одиниці $\hslash /a_0^{*}$, $a_0^{*}$ — радіус Бора атома водню, $Y_l^m$ — сферичні гармоніки.

Також поліноми Ґеґенбауера через відповідні ультрасферичні гармоніки пов'язані з представленнями спеціальної ортогональної групи $SO(n)$Шаблон:Sfn.

Література

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Milton Abramowitz & Irene A. Stegun, Шаблон:Iw, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. Див. Chapter 22 Шаблон:Webarchive
• Stein, Elias; Weiss, Guido, Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, (1971) Princeton, N.J.: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08078-9.

Посилання

• Gegenbauer Function Шаблон:Webarchive, functions.wolfram.com
• Eric W. Weisstein, Gegenbauer Polynomial Шаблон:Webarchive, MathWorld — mathworld.wolfram.com