Поліноми Якобі

Шаблон:Ортогональні поліноми Поліноми Якобі — це клас ортогональних поліномів. Вони названі на честь Карла Густава Якоба Якобі.

Визначення

Вони походять з гіпергеометричних функцій у тих випадках, коли наступні ряди кінцеві:

$P_n^{(\alpha ,\beta )}(z)=\frac{(\alpha +1{)}_n}{n!}{}_2{F}_1(-n,1+\alpha +\beta +n;\alpha +1;\frac{1-z}{2}),$

де $(\alpha +1{)}_n$ є символом Похгаммера (для зростаючого факторіалу), (Абрамович і Стегун стор.561 Шаблон:Webarchive) і, таким чином, явний вираз

$P_n^{(\alpha ,\beta )}(z)=\frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha +n+1)}{n!\mathrm{\Gamma }(\alpha +\beta +n+1)}\sum _{m=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m})\frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha +\beta +n+m+1)}{\mathrm{\Gamma }(\alpha +m+1)}{\left(\frac{z-1}{2}\right)}^m,$

Звідки одне з кінцевих значень наступне.

$P_n^{(\alpha ,\beta )}(1)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+\alpha }{n}).$

Для цілих $n$

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{z}{n})=\frac{\mathrm{\Gamma }(z+1)}{\mathrm{\Gamma }(n+1)\mathrm{\Gamma }(z-n+1)},$

де $\mathrm{\Gamma }(z)$ — звичайна Гамма-функція, і

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{z}{n})=0\text{for}n<0.$

Ці поліноми задовольняють умові ортогональності.

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}(1-x{)}^{\alpha }(1+x{)}^{\beta }{P}_m^{(\alpha ,\beta )}(x)P_n^{(\alpha ,\beta )}(x)dx=\frac{2^{\alpha +\beta +1}}{2n+\alpha +\beta +1}\frac{\mathrm{\Gamma }(n+\alpha +1)\mathrm{\Gamma }(n+\beta +1)}{\mathrm{\Gamma }(n+\alpha +\beta +1)n!}{\delta }_{nm}$

для $\alpha >-1$ і $\beta >-1$.

Існує відношення сіметрії для поліномів Якобі.

$P_n^{(\alpha ,\beta )}(-z)=(-1{)}^n{P}_n^{(\beta ,\alpha )}(z);$

а тому інше значення поліномів:

$P_n^{(\alpha ,\beta )}(-1)=(-1{)}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+\beta }{n}).$

Для дійсного $x$ поліном Якобі може бути записаний наступним чином.

$P_n^{(\alpha ,\beta )}(x)=\sum _s(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+\alpha }{s})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+\beta }{n-s}){\left(\frac{x-1}{2}\right)}^{n-s}{\left(\frac{x+1}{2}\right)}^s$

де $s\ge 0$ і $n-s\ge 0$. У спеціальному випадку, коли $n$, $n+\alpha$, $n+\beta$ і $n+\alpha +\beta$ — невід'ємні цілі, поліном Якобі може приймати наступний вигляд

$P_n^{(\alpha ,\beta )}(x)=(n+\alpha )!(n+\beta )!\sum _s{[s!(n+\alpha -s)!(\beta +s)!(n-s)!]}^{-1}{\left(\frac{x-1}{2}\right)}^{n-s}{\left(\frac{x+1}{2}\right)}^s.$

Сума береться по всім цілим значенням $s$, для яких множники є невід'ємними.

Ця формула дозволяє виразити d-матрицю Вігнера $d_{m^{\prime }m}^j(\varphi )$ ($0\le \varphi \le 4\pi$) у термінах поліномів Якобі

$d_{m^{\prime }m}^j(\varphi )={\left[\frac{(j+m)!(j-m)!}{(j+m^{\prime })!(j-m^{\prime })!}\right]}^{1/2}{(\sin \frac{\varphi }{2})}^{m-m^{\prime }}{(\cos \frac{\varphi }{2})}^{m+m^{\prime }}{P}_{j-m}^{(m-m^{\prime },m+m^{\prime })}(\cos \varphi ).$

Похідні

k-та похідна явного виразу призводить до

$\frac{{\mathrm{d}}^k}{\mathrm{d}{z}^k}{P}_n^{(\alpha ,\beta )}(z)=\frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha +\beta +n+1+k)}{2^k\mathrm{\Gamma }(\alpha +\beta +n+1)}{P}_{n-k}^{(\alpha +k,\beta +k)}(z).$

Див. також

• Список об'єктів, названих на честь Карла Якобі

Посилання

• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation