Поверхня Еннепера

Частина поверхні Еннепера

У диференціальній геометрії та алгебраїчній геометрії поверхня Еннепера є самоперетинна поверхня, що задається параметрично:$$\begin{array}{cc}x& =\frac{1}{3}u(1-\frac{1}{3}{u}^2+v^2),\\ y& =\frac{1}{3}v(1-\frac{1}{3}{v}^2+u^2),\\ z& =\frac{1}{3}(u^2-v^2).\end{array}$$Її описав Альфред Еннепер у 1864 році у досліджуючи теорією мінімальних поверхонь.

Параметризація Вейєрштрасса–Еннепера дуже проста, $f(z)=1,g(z)=z$, і дійснозначну параметричну форму можна легко вивести з неї. Поверхня сполучена сама з собою.

Методи імпліцизації алгебраїчної геометрії можна використати, щоб з’ясувати, що точки на поверхні Еннепера, наведені вище, задовольняють поліноміальне рівняння 9 степеня$$\begin{array}{cc}& 64z^9-128z^7+64z^5-702x^2{y}^2{z}^3-18x^2{y}^{2}z+144(y^2{z}^6-x^2{z}^6)\\ & +162(y^4{z}^2-x^4{z}^2)+27(y^6-x^6)+9(x^{4}z+y^{4}z)+48(x^2{z}^3+y^2{z}^3)\\ & -432(x^2{z}^5+y^2{z}^5)+81(x^4{y}^2-x^2{y}^4)+240(y^2{z}^4-x^2{z}^4)-135(x^4{z}^3+y^4{z}^3)=0.\end{array}$$Подвійно, дотична площина в точці із заданими параметрами є $a+bx+cy+dz=0,$ де$$\begin{array}{cc}a& =-(u^2-v^2)(1+\frac{1}{3}{u}^2+\frac{1}{3}{v}^2),\\ b& =6u,\\ c& =6v,\\ d& =-3(1-u^2-v^2).\end{array}$$Його коефіцієнти задовольняють неявне рівняння полінома 6 степеня$$\begin{array}{cc}& 162a^2{b}^2{c}^2+6b^2{c}^2{d}^2-4(b^6+c^6)+54(a{b}^{4}d-a{c}^{4}d)+81(a^2{b}^4+a^2{c}^4)\\ & +4(b^4{c}^2+b^2{c}^4)-3(b^4{d}^2+c^4{d}^2)+36(a{b}^2{d}^3-a{c}^2{d}^3)=0.\end{array}$$Кривизна Якобіана, Гауса та середня кривина:$$\begin{array}{cc}J& =\frac{1}{81}(1+u^2+v^2{)}^4,\\ K& =-\frac{4}{9}\frac{1}{J},\\ H& =0.\end{array}$$Загальна кривина становить $-4\pi$ . Оссерман довів, що повна мінімальна поверхня в ${ℝ}^3$ з повним викривленням $-4\pi$ є або катеноїдом, або поверхнею Еннепера.

Інша властивість полягає в тому, що всі бікубічні мінімальні поверхні Безьє є частинами поверхні з точністю до афінного перетворення.

Поврхню можна узагальнити на обертальні симетрії вищого порядку за допомогою параметризації Вейєрштрасса–Еннепера $f(z)=1,g(z)=z^k$ для цілого k>1. Також можна узагальнити поверхню на вищі виміри; відомо, що еннеперподібні поверхні існують в ${ℝ}^n$ для n до 7.

Ланки

• Шаблон:Springer
• https://web.archive.org/web/20130501084413/http://www.math.hmc.edu/~gu/curves_and_surfaces/surfaces/enneper.html
• https://web.archive.org/web/20160919231223/https://secure.msri.org/about/sgp/jim/geom/minimal/library/ennepern/index.html