Однорідні диференціальні рівняння

Шаблон:Диференціальні рівняння Диференціальне рівняння називається однорідним у одному з двох аспектів.

Звичайне диференціальне рівняння першого порядку називається однорідним, якщо його можна записати у вигляді

$f(x,y)\mathrm{d}y=g(x,y)\mathrm{d}x,$

де $f$ та $g$  — однорідні функції від $x$ і $y$ однакового степеня. У цьому випадку підстановка $y=ux$ приводить до рівняння вигляду

$\frac{\mathrm{d}x}{x}=h(u)\mathrm{d}u,$

що легко розв'язується інтегруванням лівої та правої частин.

Інакше, диференціальне рівняння називається однорідним, якщо воно є однорідною функцією від невідомої функції та її похідних. У випадку лінійних диференціальних рівнянь це означає відсутність вільного члена. Таким чином, рівняння

$a_n(x)y^{(n)}+\cdots +a_2(x)y^{″}+a_1(x)y^{\prime }+a_0(x)y=b(x)$

є однорідним, якщо $b(x)\equiv 0$. У випадку $b(x)\ne 0$ таке рівняння називають неоднорідним.

Розв'язки будь-якого лінійного звичайного диференціального рівняння будь-якого порядку можна вивести інтегруванням з розв'язку відповідного однорідного рівняння, отриманого вилученням вільного члена.

Історія

Поняття однорідності було вперше застосовано до диференціальних рівнянь Йоганном Бернуллі у дев'ятому розділі його статті 1726 року De integraionibus aequationum differentialium (Про інтегрування диференціальних рівнянь).

Однорідні диференціальні рівняння першого порядку

Звичайне диференціальне рівняння першого порядку вигляду

$M(x,y)\mathrm{d}x+N(x,y)\mathrm{d}y=0$

є однорідним, якщо обидві функції $M(x,y),N(x,y)$ є однорідними однакового степеня $n$. Таким чином, помноживши кожну змінну на параметр $\lambda$, маємо

$M(\lambda x,\lambda y)={\lambda }^{n}M(x,y)$ і

$N(\lambda x,\lambda y)={\lambda }^{n}N(x,y).$

Отже,

$\frac{M(\lambda x,\lambda y)}{N(\lambda x,\lambda y)}=\frac{M(x,y)}{N(x,y)}.$

Спосіб розв'язання

У співвідношенні

$\frac{M(tx,ty)}{N(tx,ty)}=\frac{M(x,y)}{N(x,y)}$

покладемо $t=\frac{1}{x}$, щоб перейти до функції однієї змінної $\frac{y}{x}$:

$\frac{M(x,y)}{N(x,y)}=\frac{M(tx,ty)}{N(tx,ty)}=\frac{M(1,y/x)}{N(1,y/x)}=f(y/x).$

Тобто

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-f(y/x).$

Робимо підстановку $y=ux$; диференціюємо застосовуючи правило добутку:

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}(ux)}{\mathrm{d}x}=x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}+u\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}x}=x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}+u.$

Таким чином, у рівнянні відокремлено змінні:

$x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=-f(u)-u$

або

$\frac{1}{x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}u}=\frac{-1}{f(u)+u},$

яке вже можна проінтегрувати.

Особливий випадок

Диференціальне рівняння першого порядку вигляду

$(ax+by+c)\mathrm{d}x+(ex+fy+g)\mathrm{d}y=0,$

де $a$, $b$, $c$, $e$, $f$, $g$  — константи та $af\ne be$, може бути зведено до однорідного за допомогою лінійної заміни змінних:

$t=x+\alpha ;z=y+\beta ,$

де $\alpha$ та $\beta$  — константи.

Лінійні однорідні диференціальні рівняння

Лінійне диференціальне рівняння є однорідним, якщо воно є однорідним лінійним рівнянням від невідомої функції та її похідних. З цього випливає, що якщо $\phi (x)$ є розв'язком такого рівняння, то і $c\phi (x)$ також є його розв'язком для будь-якої відмінної від нуля константи $c$. Щоб ця умова виконувалася, кожен ненульовий член лінійного диференціального рівняння повинен залежати від невідомої функції або від будь-якої її похідної. Лінійне диференціальне рівняння, для якого ця умова не виконується, називається неоднорідним.

Лінійне диференціальне рівняння може бути представлене як лінійний оператор, що діє на $y(x),$ де $x$ зазвичай є незалежною змінною, а $y$  — залежною змінною. Таким чином, загальна форма лінійного однорідного диференціального рівняння має вигляд

$L(y)=0,$

де $L$  — диференціальний оператор, тобто сума похідних (у цьому випадку визначаємо «нульову похідну» як початкову функцію), помножених на функції $f_i$, що залежать від $x$:

$L=\sum _{i=0}^n{f}_i(x)\frac{{\mathrm{d}}^i}{\mathrm{d}{x}^i},$

де функції $f_i$ можуть бути константами, але не можуть усі одночасно дорівнювати нулю.

Наприклад, таке лінійне диференціальне рівняння є однорідним:

$\mathrm{tg}(2x)\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}+2\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+3y=0,$

тоді як наступні два рівняння є неоднорідними:

$\mathrm{tg}(2x)\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}+2\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+3y=\cos (x);$

$x^3\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}-3x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+xy=2.$

Присутність вільного члена є достатньою умовою того, що рівняння є неоднорідним.

Див. також

• Розділення змінних
• Звичайні диференціальні рівняння
• Лінійне диференціальне рівняння
• Інтеграл

Література

• Шаблон:Самойленко.Перестюк.Парасюк.Диференціальні рівняння
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book

Посилання

• Homogeneous differential equations at MathWorld
• Wikibooks: Ordinary Differential Equations/Substitution 1