Нотація множин

Множини є фундаментальними об'єктами в області математики. Інтуїтивно зрозуміло, що множина — це просто набір елементів або частин. Існують різні домовленості щодо текстових позначень множин під час їх дослідження. У якійсь конкретній ситуації, автор, як правило, вибирає з числа цих варіантів, в залежності від яких властивості цієї множини є найбільш актуальними для безпосереднього контексту або які в перспективі вважаються найбільш корисними.

Зазначення множини як об'єкта

Там, де бажане звертання до множини як до неподільного цілого, вона, як правило, позначається однією великою літерою. У випадку, коли потрібно посилатись на довільну множину, загальну, в більшості випадків обирають літеру S (Шаблон:Lang-en). Коли декілька множин розглядаються одночасно, вони часто позначаються першими літерами алфавіту: А, В, С і так далі. За домовленістю, конкретні символи зарезервовані для найважливіших наборів чисел:

Шаблон:Math — порожня множина (також $\mathrm{\varnothing }$ або $\varnothing$ or Шаблон:Math є загальними)

Шаблон:Math — цілі числа (від Zahl, по-німецькому номер).

Шаблон:Math — натуральні числа

Шаблон:Math — раціональні числа (від частки)

Шаблон:Math — дійсні числа

Шаблон:Math — комплексні числа

Деякі автори використовують Шаблон:Нп для цих конкретних множин ($ℂ$, $\mathbb{N}$, і т. д.). Таке використання отримало широке визнання у написанні, але багато математиків, а також такі фахівці з математичної типографії, як Дональд Кнут, виступали проти використання подібного стандарту.

Акцент на складі множини

У багатьох випадках дослідник зацікавлений більше в елементах, що входять до складу множини, ніж самою множиною, як чимось цілим, наприклад, визначаючи екстенсивні особливості множини. При цьому елементи, виражені дискретно або відповідно якоїсь множини, позначаються у фігурних дужках.

Найпростіший підхід до такого типу полягає в тому, що, тільки говорячи про досить малі множини, перелік елементів не є нескінченим. Таким чином, множина мастей в стандартній колоді гральних карт позначається {♠, ♦, ♥, ♣} і множина парних простих чисел позначаються через Шаблон:Math. Цей підхід також має на увазі позначення {} для порожньої множини.

Семантика терміну множина накладає певні синтаксичні обмеження на ці нотації. Єдиною важливою є інформація щодо того, які саме об'єкти містить множина. В результаті, порядок, в якому з'являються елементи в перерахуванні не має ніякого значення: Шаблон:Math та Шаблон:Math по два перерахування з одного набору. Повторне згадування елемента також не має значення, так що Шаблон:Math. Для того, щоб мати справу з колекціями, для яких кількість членів важлива, існує узагальнення множин, які звуться мультимножини.

Варіант цього явно вичерпного перерахування використовує діапазони елементів і особливості трьох крапок. Таким чином, безліч перших десяти натуральних чисел подається у вигляді Шаблон:Math. При цьому, звичайно, три крапки означає «і так далі.» Зверніть увагу, що там, де три крапки використовуються для позначення діапазону, вони перемежовуються, як якщо б це був елемент множини. Якщо будь-який крайній член діапазону невизначений, він може позначати алгебраїчний вираз, який дає формулу для його обчислення. Як приклад, якщо відомо з контексту, що n повинно бути додатним цілим числом, то множина перших n квадратів можна позначити Шаблон:Math.

Деякі нескінченні множини теж можуть бути представлені таким чином. Прикладом може служити позначення множини натуральних чисел (для яких позначення, описане вище, є Шаблон:Math)), Шаблон:Math. У тих випадках, коли нескінченно повторюваний малюнок не зрозумілий, можна додати вираз, щоб представити загальний елемент множини, а саме Шаблон:Math.

Більш потужний механізм для позначення множини в термінах її елементів — нотація побудови множини. При цьому загальна картина Шаблон:Math, яка позначає множину всіх елементів Шаблон:Math(від деякої універсальної множини), для яких твердження Шаблон:Math від Шаблон:Math істинне. Наприклад, коли йдеться про множину точок, коло з радіусом Шаблон:Math і центром (Шаблон:Math, Шаблон:Math), може бути позначене як Шаблон:Math.

Помітний виняток у позначеннях за допомогою дужок використовується для вираження проміжків у вигляді прямої дійсних чисел. Будь-який такий проміжок коректно визначений лише тому, що дійсні числа лінійно впорядковані. Він повністю визначається його лівим і правим кінцями: одиничний інтервал, наприклад, це множина дійсних чисел від 0 до 1 (включно). Існує домовленість щодо позначення інтервалів, у якій використовуються квадратні дужки і круглі дужки, в залежності від того, як відповідна кінцева точка входить у або виходить за межі множини, відповідно. Таким чином, множина дійсних чисел з модулем менше одиниці позначається Шаблон:Math — зверніть увагу, що це дуже відрізняється від впорядкованої пари з першим записом -1 і другим записом 1. Як і в інших прикладах, множина дійсних чисел Шаблон:Math, які задовольняють умову, коли Шаблон:Math, позначається через Шаблон:Math, а також множина невід'ємних дійсних чисел позначається через Шаблон:Math.

Позначення множин

Оскільки більша частина науки математики полягає в створенні та використанні вже відомих шаблонів, це, можливо, не дивно, що там постійно виникають різні правила позначення множин, які сильно впливають на практикум дослідження багатьох явищ, більш того, це очевидно, що раніше зазначений шаблон буде використовуватися протягом довгого проміжку часу та не один раз.

Один клас містить позначення виведення символів для множини з алгебри, яка має представницьку форму. Як приклад, розглянемо множину парних чисел. Так як число Шаблон:Math є точним, та якщо існує деяке ціле число Шаблон:Math таке, що Шаблон:Math = 2а, можна використати наступний різновид нотації побудови множини, для позначення цієї множини: {2a: a∈Z} (порівняйте це з типовою нотацією побудови множини: Шаблон:Math). Як альтернатива, може бути один символ для позначення множини парних чисел Шаблон:Math. Крім того, так як будь-яке непарне число повинно мати вигляд Шаблон:Math для деякого цілого Шаблон:Math, множину непарних чисел можна позначити Шаблон:Math.

Другий клас заснований на сильному логічному зв'язку між множиною і конкретним цілим числом. Одним із прикладів є дужка позначень, в якій множина Шаблон:Math перших Шаблон:Math натуральних чисел позначається через [[[:Шаблон:Math]]] (як залежна точка, яка забезпечена відношенням Шаблон:Math, множина [[[:Шаблон:Math]]] позначається через Шаблон:Math.) Інший приклад прийшов з модульної арифметики, де класи еквівалентності позначаються через ${\overline{a}}_n$, для більш повного уявлення множини цілих чисел, які є залишком Шаблон:Math при діленні на Шаблон:Math. Таким чином ще інше позначення для множини парних чисел має право на своє існування ${\overline{0}}_2$.

Інше правило позначення множин, яке спирається на метафори, прийшло до нас з перелічної комбінаторики. Воно отримує символ для множини Шаблон:Math з виразу для потужності множини, або розміру, Шаблон:Math. Мабуть, найпростішим і найвідомішим прикладом є декартів добуток множин Шаблон:Math і Шаблон:Math, у якому множина Шаблон:Math. Так як в цій множині кожен елемент Шаблон:Math існує рівно один раз в парі з кожним елементом Шаблон:Math, його потужність Шаблон:Math. З цієї причини множина позначається через Шаблон:Math.

Є багато інших прикладів цього правила. Одним з них є множина функцій з множини Шаблон:Math, щоб встановити Шаблон:Math. Для кожної функції, за умови що Шаблон:Math і Шаблон:Math є скінченними, кожному елементу множини Шаблон:Math зіставляється відображення з множини Шаблон:Math, так, що кількість таких функцій дорівнює Шаблон:Math. Таким чином, множину всіх функцій від Шаблон:Math до Шаблон:Math позначається як Шаблон:MathШаблон:Math. Іншим прикладом є булеан множини Шаблон:Math, який, за умови існування потужності Шаблон:Math, позначається як Шаблон:Math. Однак слід зазначити, що, оскільки будь-яка підмножина Шаблон:Math може розглядатися як функція, яка має кожний елемент Шаблон:Math одного чи іншого елемента {включати, виключати}, позначення Шаблон:Math можна розглядати як окремий випадок Шаблон:Math. Така потужність також використовується для виведення зі стандартних умов для біноміальних коефіцієнтів позначення $(\genfrac{}{}{0ex}{}{X}{k})$ для множин всіх k-елементних підмножин множини Шаблон:Math.

Приклад, в якому це основане на потужності позначення, здається, ще не використовувалося це Шаблон:Math для позначення множини всіх перестановок множини Шаблон:Math. Так як він зазвичай розглядається як базовий набір симетричної групи, то множина, як правило, позначається символом самої групи, або Шаблон:Math чи Шаблон:Math.

Інші позначення

Інші позначення також іноді розглядаються, в тому числі на основі відношень. Для відношення Шаблон:Math на множині Шаблон:Math, можна позначати множину об'єктів, пов'язаних з Шаблон:Math до деякого елементу Шаблон:Math з Шаблон:Math за допомогою Шаблон:Math. Так в позначеннях | для множин поділяє відносини теорії чисел, також можна позначати множину коефіцієнтів цілого числа Шаблон:Math на Шаблон:Math | (Шаблон:Math). Аналогічним чином, підмножина Шаблон:Math є нижньою множиною для умови Шаблон:Math, є точною, якщо вона може позначати Шаблон:Math для деякого Шаблон:Math в Шаблон:Math. А так як Шаблон:Math є символом суміжності відношення, підмножина з набору Шаблон:Math вершин графу, яка включає в себе саме ті елементи, що суміжно розташовані біля вершини Шаблон:Math (а саме, перетин Шаблон:Math з відкритим околом Шаблон:Math) можна позначити Шаблон:Math.

Див. також

• Таблиця математичних символів
• Список (обчислення)
• Послідовність
• Нотація Кнута
• Математичний запис
• Порядкове позначення