Нестійкість Релея — Тейлора

Розвиток нестабільності Релея — Тейлора.

Нестійкість Релея — Тейлора  — виникає між двома контактуючими суцільними середовищами різної щільності, коли більш важка рідина штовхає більш легку. Прикладом такої нестійкості може служити нестійкість краплі води на поверхні олії — вода буде намагатися проникнути крізь олію.

Основним параметром, що визначає швидкість розвитку цієї нестабільності є число Атвуда.

Аналітичний опис

Задача про нестійкості Релея — Тейлора має аналітичне рішення в рамках лінійної теорії стійкості.

Нехай два протяжних плоских горизонтальних шару рідини розташовані в полі тяжіння $\overrightarrow{g}$ один над одним, причому більш важка рідина 1 знаходиться вгорі (на ілюстрації — синій колір), щільності рідин ${\rho }_1,{\rho }_2$. Верхня і нижня межі — тверді. Для простоти зручно користуватися моделлю нев'язкої нестисливої рідини, тоді система описується рівнянням Ейлера:

$\frac{\partial \overrightarrow{v}}{\partial t}+(\overrightarrow{v}\cdot \mathrm{\nabla })\overrightarrow{v}=-\frac{1}{\rho }\mathrm{\nabla }P+\overrightarrow{g},$

$\mathrm{div}\overrightarrow{v}=0.$

Надалі компоненти швидкості визначаються як $\overrightarrow{v}=\{u,v,w\}$. Цілком очевидно, що рівноважне рішення ($\overrightarrow{v}=0$) задовольняє моделі, при цьому з рівняння Ейлера для тиску виходить наступне:

$\frac{\partial P}{\partial x}=0,\frac{\partial P}{\partial y}=0,\frac{\partial P}{\partial z}=-\rho g$

Звідки визначається рівноважний розподіл тиску (відомий результат для тиску стовпа рідини):

$P_0=-\rho gz.$

Внесемо в рівноважний стан малі збурення. Нехай швидкість $\overrightarrow{v}$ настільки мала, що можна знехтувати нелінійним доданком $(\overrightarrow{v}\cdot \mathrm{\nabla })\overrightarrow{v}$ в рівнянні Ейлера, а тиск має вигляд $P=P_0+P^{\prime }$, де $P^{\prime }\ll P_0$. Тоді отримаємо лінійну систему рівнянь для малих збурень (далі штрих у тиску опущений):

$\frac{\partial \overrightarrow{v}}{\partial t}=-\frac{1}{\rho }\mathrm{\nabla }P,$

$\mathrm{div}\overrightarrow{v}=0.$

Граничні умови задаються виходячи з міркувань рівності z-компонент швидкості рідин 1 і 2 на межі розділу і наявності поверхневого натягу. На верхній і нижній межах, тому що рідина ідеальна, працюють умови непротікання. Зручно прийняти координату кордону розділу в рівновазі за 0. На ній виконується кінематична умова

$\frac{\partial \zeta }{\partial t}=w,$

і динамічна умова

$(P_1-P_2)-({\rho }_1-{\rho }_2)g\zeta =\sigma \mathrm{\Delta }\zeta .$

Умова непротікання верхньої і нижньої меж:

$z=\pm h:w=0,$

де $zeta$ — величина відхилення кордону від незбуреної, $\sigma$ — коефіцієнт поверхневого натягу. Отримана завдання для збурень легко вирішується. Припустимо, що збурення мають вигляд:

$\overrightarrow{v},P,\zeta \sim e^{\lambda t}{e}^{i(k_{x}x+k_{y}y)},$

де $\lambda$ — швидкість росту (інкремент) обурення, $k_x,k_y$ — компоненти хвильового вектора обурення кордону.

З рівняння Ейлера виражається $w$:

$\lambda w=-\frac{1}{\rho }\frac{\partial P}{\partial z},$

а умова $\mathrm{div}\overrightarrow{v}=0$ дає рівняння Лапласа для тиску. У результаті, швидкість течії із завдання вдається виключити. Залишається лінійне рівняння:

$\frac{{\partial }^{2}P}{\partial z^2}-k^{2}P=0,$

з граничними умовами:

$z=0:(P_1-P_2)-({\rho }_1-{\rho }_2)g\zeta =-\sigma k^2\zeta ,$

$z=0:\frac{1}{{\rho }_1}\frac{\partial P_1}{\partial z}-\frac{1}{{\rho }_2}\frac{\partial P_2}{\partial z}=0,$

$z=\pm h:\frac{\partial P}{\partial z}=0.$

Рішення рівняння Лапласа для тиску:

$P_1=C_1\cosh k(h-z),$

$P_2=C_2\cosh k(h+z).$

Константи $C_1,C_2$ визначаються з кінематичного умови. Динамічне умова дає зв'язок між інкремент і модулем хвильового вектора

${\lambda }^2=\frac{({\rho }_1-{\rho }_2)g-\sigma k^2}{{\rho }_1+{\rho }_2}k\tanh kh,$

звідки безпосередньо випливає вираз для критичного хвильового числа збурень (при $\lambda =0$):

$k_c^2=({\rho }_1-{\rho }_2)\frac{g}{\sigma }$.

Якщо довжина хвилі більша за критичну, то обурення кордону будуть наростати.

У граничному випадку нескінченно глибоких шарів ($kh\gg 1$) найбільша швидкість росту збурень досягається при хвильовому числі

$k_m^2=({\rho }_1-{\rho }_2)\frac{g}{3\sigma }$.

У тонких шарах ($kh\ll 1$):

$k_m^2=({\rho }_1-{\rho }_2)\frac{g}{2\sigma }$.

Література

• Лабунцов Д. А., Ягов В. В. Механіка двофазних систем. / / М.: Видавництво МЕІ, 2000. — С. 143—146.
• Векштейн Г. Є. Фізика суцільних середовищ в завдання. / / М.: Інститут комп'ютерних досліджень, 2002. — С. 109—111.

Посилання

• http://www.astronet.ru/db/msg/1188634