Нерівність Фрідріхса

Нерівність Фрідріхса — теорема функціонального аналізу, доведена Куртом Фрідріхсом. Воно задає обмеження для L^p-норми функції, за допомогою L^p норм слабких похідних цієї функції та геометрію області. Нерівність може бути використана, для доведення еквівалентності деяких норм на просторі Соболєва.

Нехай Ω — обмежена підмножина евклідового простору Rⁿ з діаметром d. Припустимо, що u : Ω → R належить простору Соболєва $W_0^{k,p}(\mathrm{\Omega })$ (тобто $u\in W^{k,p}(\mathrm{\Omega })$ і слід u на границі $\partial \mathrm{\Omega }$ є рівним 0). Тоді

$\Vert u{\Vert }_{L^p(\mathrm{\Omega })}\le d^k{(\sum _{|\alpha |=k}\Vert {\mathrm{D}}^{\alpha }u{\Vert }_{L^p(\mathrm{\Omega })}^p)}^{1/p},$

де

• $\Vert -{\Vert }_{L^p(\mathrm{\Omega })}$ позначає L^p-норму;
• α = (α₁, …, α_n) — мультиіндекс з нормою |α| = α₁ + … + α_n;
• D^αu — змішана часткова похідна

${\mathrm{D}}^{\alpha }u=\frac{{\partial }^{|\alpha |}u}{\underset{x_1}{\overset{{\alpha }_1}{\partial }}\cdots \underset{x_n}{\overset{{\alpha }_n}{\partial }}}.$

Близьким результатом є нерівність Пуанкаре.

Випадок однієї змінної

Якщо функція $u$ є диференційовною на відрізку $[a,b]$, $u(a)=0$ і її похідна є інтегровною у квадраті на цьому відрізку, тоді:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}{u}^2(x)dx⩽\frac{(b-a{)}^2}{2}\underset{a}{\overset{b}{\int }}{\left(\frac{du}{dx}\right)}^{2}dx.$

Дана нерівність є сильнішою, ніж у загальній версії оскільки замість константи $d^2$, яка у цьому випадку є рівною $(b-a{)}^2$ використовується $\frac{(b-a{)}^2}{2}.$

Для доведення цього варіанту нерівності, згідно із фундаментальною теоремою аналізу можна записати (із відповідною зміною позначень незалежної змінної) $u(x)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{du}{dt}dt.$ Тоді враховуючи інтегральну версію нерівності Коші — Буняковського одержуються нерівності:

$u^2(x)={\left(\underset{a}{\overset{x}{\int }}\frac{du}{dt}dt\right)}^2⩽\underset{a}{\overset{x}{\int }}{\left(\frac{du}{dt}\right)}^{2}dt\cdot \underset{a}{\overset{x}{\int }}1dt⩽(x-a)\underset{a}{\overset{b}{\int }}{\left(\frac{du}{dt}\right)}^{2}dt.$

Інтегруючи крайній лівий і правий члени нерівності на інтервалі $[a,b]$ одержується одновимірний варіант нерівності Фрідріхса.

Література

• Шаблон:Cite book