Многогранник Ньютона

Многогранник Ньютона — многогранник із цілочисельними вершинами в n-вимірному евклідовому просторі, який будується за многочленом від n змінних.

Побудова

Припустимо,

$f(x_1,x_2,\dots ,x_n)=\sum a_{i_1,\dots ,i_n}{x}_1^{i_1}\dots x_n^{i_n}$

— многочлен від n змінних. Позначимо через $I$ множину всіх мультиіндексів $i_1,\dots ,i_n$ таких, що $a_{i_1,\dots ,i_n}\ne 0$. За визначенням многочлена $I$ скінченне.

Опуклу оболонку

$N_f=\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v}I\subset {ℝ}^n$

називають многогранником Ньютона многочлена $f$.

Властивості

• Типове число ненульових розв'язків системи поліноміальних рівнянь $f_1=\dots =f_n=0$ дорівнює

  $n!\cdot V(N_1,\dots ,N_n),$

де $N_i$ многогранник Ньютона многочлена $f_i$ і $V(N_1,\dots ,N_n)$ — їх змішаний об'єм.

Варіації та узагальнення

• Многогранник Ньютона — Окунькова — аналогічна конструкція для типових лінійних комбінацій даних многочленів.

Література

• Бураго Ю. Д., Залгаллер В. А. Геометрические неравенства. Наука, 1980.
• Valentina Kiritchenko, Evgeny Smirnov, Vladlen Timorin, Ideas of Newton-Okounkov bodies, Snapshots of modern mathematics from Oberwolfach, No. 8/2015

Інтернет-ресурси

• Linking Groebner Bases and Toric Varieties Шаблон:Webarchive
• Шаблон:Cite journal