Марковський момент часу

Момент зупину або марковський момент часу в теорії випадкових процесів — це випадкова величина, яка не залежить від майбутнього розглянутого випадкового процесу.

Дискретний випадок

Визначення

Нехай дана послідовність випадкових величин $\{Y_n{\}}_{n\ge 0}$. Тоді випадкова величина $\tau$ називається марковським моментом (часу), якщо для будь-якого $n\ge 0$ подія $\{\tau \le n\}$ залежить тільки від випадкових величин $Y_0,\dots ,Y_n$.

Приклад

нехай $\{Y_n{\}}_{n\ge 0}$ — послідовність незалежних нормальних випадкових величин. Нехай $L\in ℝ$, і

$\tau =\inf \{n\ge 0\mid Y_n\ge L\}$

— момент першого досягнення процесом $\{Y_n\}$ рівня $L$. Тоді $\tau$ - марковський момент, бо $\tau \le n$ тоді і тільки тоді, коли існує $i\in \mathbb{N},0\le i\le n$ таке, що $Y_i\ge L$. Таким чином подія $\{\tau \le n\}$ залежить лише від поведінки процесу до моменту часу $n$.

Нехай тепер

$\sigma =\sup \{n\ge 0\mid Y_n\ge L\}$

— момент останнього досягнення процесом $\{Y_n\}$ рівня $L$. Тоді $\sigma$ не є марковським моментом, бо подія $\{\sigma \le n\}$ передбачає знання поведінки процесу в майбутньому.

Загальний випадок

Визначення

• Нехай дано ймовірнісний простір $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$ з фільтрацією $\{{ℱ}_t{\}}_{t\in T}$, де $T\subset [0,\mathrm{\infty })$. Тоді випадкова величина $\tau$, яка приймає значення в $T\cup \{\mathrm{\infty }\}$ називається марковським моментом відносно даної фільтрації, якщо $\{\tau \le t\}\in {ℱ}_t,\mathrm{\forall }t\in T$.

• Якщо дано процес $\{X_t{\}}_{t\in T}$, і ${ℱ}_t=\sigma (X_s\mid s\le t)$ - його природні σ-алгебри, то кажуть, що $\tau$ — марковський момент відносно процесу $\{X_t\}$.

• Марковський момент називається моментом зупинки, якщо він скінченний майже напевно, тобто:$\mathbb{P}(\tau <\mathrm{\infty })=1$.

Властивості

Якщо $\tau$ і $\sigma$ — марковські моменти, то

• $\tau +\sigma$ — марковський момент;
• $\tau \wedge \sigma \equiv \min (\tau ,\sigma )$ — марковський момент;
• $\tau \vee \sigma \equiv \max (\tau ,\sigma )$ — марковський момент.

Зауваження

Момент зупинки може не мати скінченного математичного сподівання.

Приклад

Нехай $\{W_t{\}}_{t\ge 0}$ — стандартний вінерівський процес. Нехай $\alpha >0$. Визначимо

$\tau =\inf \{t\ge 0\mid W_t\ge \alpha \}$.

Тоді $\tau$ — марковський момент, який має розподіл, що задається щільністю ймовірності

$f_{\tau }(t)=\frac{\alpha }{\sqrt{2\pi t^3}}{e}^{-\frac{{\alpha }^2}{2t}},t\ge 0$.

Зокрема $\tau$ — момент зупинки. Проте,

$𝔼\tau =\mathrm{\infty }$.

Контрприклад

Розглянемо пацюка у відкритому лабіринті, в якому пацюк зрештою виходить на свободу і ніколи вже не повертається в лабіринт. Припустимо, що пацюк стартує у комірці 1; $X_0=1.$ Нехай $\tau$ позначає час коли пацюк відвідав комірку 1 востаннє перед тим як покинути лабіринт: $\tau =\text{max}\{n\ge 0:X_n=1\}.$

Очевидно, що ви мусимо знати майбутнє, щоб визначити цей час.

Див. також

• Задача про перебірливу молодицю