Лінійна нерівність

Ліні́йна нері́вність — це нерівність, що використовує лінійні функції. Лінійна нерівність містить один із символів нерівностіШаблон:Sfn:

• <- менше
• > — більше
• $⩽$ — менше або дорівнює
• $⩾$ — більше або дорівнює
• $\ne$ — не дорівнює

а також (формально)

• = — дорівнює

Лінійна нерівність виглядає так само, як лінійне рівняння, але замість знака дорівнює ставиться знак нерівності.

Лінійні нерівності дійсних чисел

Двовимірні лінійні нерівності

Графік лінійної нерівності: x + 3y <9

Двовимірні лінійні нерівності — це вирази вигляду:

$ax+by<c$ і $ax+by⩾c,$

де нерівності можуть бути строгими або не строгими. Множину розв'язків такої нерівності можна графічно подати як півплощину (всі точки з «одного боку» від фіксованої прямої) евклідової площини. Пряма, що визначає півплощину (ax + by = c) не включається до розв'язку, якщо нерівність строга. Проста процедура визначення, яка з півплощин є розв'язком — обчислення значення функції ax + by у точці (x_0, y₀)_, розташованій поза прямою, і перевірка, чи задовольняє ця точка нерівності.

НаприкладШаблон:Sfn, щоб намалювати розв'язок x + 3y <9, спочатку проводимо пряму з рівнянням x + 3y = 9 (пунктирна лінія), щоб показати, що пряма не належить області розв'язків, оскільки нерівність строга. Потім вибираємо зручну точку не на прямій, наприклад, (0,0). Оскільки 0 + 3(0) = 0 <9, то ця точка належить множині розв'язків нерівності і півплощина, що містить цю точку, (півплощина «нижче» прямої) є множиною розв'язків лінійної нерівності.

Лінійні нерівності в просторах вищої розмірності

У просторі Rⁿ лінійні нерівності — це вирази, які можна записати у вигляді

$f(\overline{x})<b$ або $f(\overline{x})⩽b,$

де f — лінійна форма, $\overline{x}=(x_1,x_2,\dots ,x_n)$, А b — стала дійсна величина.

Конкретніше, це можна записати як

$a_1{x}_1+a_2{x}_2+\cdots +a_n{x}_n<b$

або

$a_1{x}_1+a_2{x}_2+\cdots +a_n{x}_n⩽b.$

тут $x_1,x_2,...,x_n$ називають невідомими, а $a_1,a_2,...,a_n$ називають коефіцієнтами.

Альтернативно, те саме можна записати як

$g(x)<0$ або $g(x)⩽0,$

де g — афінна функція

Тобто

$a_0+a_1{x}_1+a_2{x}_2+\cdots +a_n{x}_n<0$

або

$a_0+a_1{x}_1+a_2{x}_2+\cdots +a_n{x}_n⩽0.$

Зауважимо, що будь-яку нерівність, що містить знаки «більше» чи «більше або дорівнює» можна переписати на нерівність зі знаками «менше» чи «менше або дорівнює», так що немає потреби визначати лінійні нерівності з цими знаками.

Системи лінійних нерівностей

Система лінійних нерівностей — це набір нерівностей з одними і тими самими змінними:

$\begin{array}{cccccccccccccc}{a}_{11}{x}_1& & +& & a_{12}{x}_2& & +\cdots +& & a_{1n}{x}_n& & ⩽& & & b_1\\ a_{21}{x}_1& & +& & a_{22}{x}_2& & +\cdots +& & a_{2n}{x}_n& & ⩽& & & b_2\\ ⋮& & & & ⋮& & & & ⋮& & & & & ⋮\\ a_{m1}{x}_1& & +& & a_{m2}{x}_2& & +\cdots +& & a_{mn}{x}_n& & ⩽& & & b_m\\ \end{array}$

тут $x_1,x_2,...,x_n$ — змінні, $a_{11},a_{12},...,a_{mn}$ — коефіцієнти системи, а $b_1,b_2,...,b_m$ — сталі члени.

Коротко це можна записати як матричну нерівність

$Ax⩽b,$

де A — матриця m × n, x — n × 1 вектор-стовпець змінних, а b — m × 1 вектор-стовпець констант.

В описаних вище системах можуть використовуватися як строгі, так і нестрогі нерівності.

Не всі системи лінійних нерівностей мають рішення.

Застосування

Багатогранники

Множина розв'язків дійсної нерівності утворює півпростір n-вимірного дійсного простору, один із двох півпросторів, визначених відповідним лінійним рівнянням.

Множина розв'язків системи лінійних нерівностей відповідає перетину півпросторів, визначених окремими нерівностями. Вона є опуклою множиною, оскільки півпростори є опуклими множинами, а перетин множини опуклих множин є також опуклою множиною. В невироджених випадках ця опукла множина є опуклим багатогранником (можливо, необмеженим, наприклад, півпростір, пластина між двома паралельними півпросторами або опуклий конус). Вона може бути також порожньою або опуклим багатогранником меншої розмірності, обмеженим афінним підпростором n-вимірного простору R^n.

Лінійне програмування

Задача лінійного програмування шукає оптимум (найбільше або найменше значення) функції (званої цільовою функцією) за деякого набору обмежень на змінні, які, в загальному випадку, є лінійними нерівностямиШаблон:Sfn. Список цих обмежень є системою лінійних нерівностей.

Узагальнення

Наведене вище визначення вимагає цілком визначених операцій додавання, множення і порівняння. Тому поняття лінійної нерівності можна поширити на впорядковані кільця і, зокрема, на впорядковані поля . Узагальнення такого типу становлять лише теоретичний інтерес поки застосування цих узагальнень не стануть очевидними.

Див. також

• Нерівність
• Лінійне рівняння
• Система рівнянь

Література

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Khan Academy: Linear inequalities, free online micro lectures