Лема Зігеля

У математиці, зокрема в теорії трансцендентних чисел і діофантовому наближенні, лема Зігеля стосується меж розв'язків лінійних рівнянь, отриманих побудовою Шаблон:Нп. Існування цих поліномів довів Шаблон:Нп; у доведенні Туе використано принцип Діріхле. Карл Людвіг Зігель опублікував свою лему 1929 року. Це чиста теорема існування для системи лінійних рівнянь.

В останні рокиШаблон:Коли? лему Зігеля вдосконалено, щоб отримати точніші межі для оцінок, які вона надає.

Формулювання

Нехай дано систему M лінійних рівнянь із N невідомими таку, що N > M, скажімо

$a_{11}{X}_1+\cdots +a_{1N}{X}_N=0$

$\cdots$

$a_{M1}{X}_1+\cdots +a_{MN}{X}_N=0$

де коефіцієнти — раціональні цілі числа, не всі рівні 0, і обмежені B. Тоді система має розв'язок

$(X_1,X_2,\dots ,X_N)$,

де X_i — раціональні цілі числа, не всі рівні 0, і обмежені

$(NB{)}^{M/(N-M)}.$

Шаблон:Harvtxt дали таку точнішу межу для X_i:

$\max |X_j|\le {\left(D^{-1}\sqrt{\det (A{A}^T)}\right)}^{1/(N-M)}$

де D — найбільший спільний дільник мінорів матриці A M × M, а A^T — її транспонована матриця. В їхньому доведенні принцип Діріхле замінено методами з геометрії чисел.

Див. також

• Діофантове наближення

Література

• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book
• Wolfgang M. Schmidt. Diophantine approximation. Lecture Notes in Mathematics 785. Springer. (1980 [1996 with minor corrections]) (Pages 125—128 and 283—285)
• Wolfgang M. Schmidt. «Chapter I: Siegel's Lemma and Heights» (pages 1–33). Diophantine approximations and Diophantine equations, Lecture Notes in Mathematics, Springer Verlag 2000.