Лема Бореля — Кантеллі

Ле́ма Боре́ля — Канте́ллі в теорії ймовірностей — це результат, що виражає властивості нескінченної множини подій. Використовується зокрема при доведенні сильного закону великих чисел. Як правило подаються дві леми, хоча іноді лемою Бореля — Кантеллі називають лише першу з них.

Перша лема

Нехай задано ймовірнісний простір $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$ і послідовність подій $\{A_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\subset ℱ$. Позначимо

$A=\mathrm{lim\; sup}{\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}{A}_n\equiv \bigcap _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\left(\bigcup _{n=m}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\right)$.

Тоді якщо ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\mathbb{P}\left(A_n\right)$ є збіжним, то $\mathbb{P}(A)=0$.

Доведення

Спершу зазначимо, що $\mathrm{lim\; sup}{\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}{A}_n\subset \bigcup _{n=m}^{\mathrm{\infty }}{A}_n$. Тому згідно з властивостями ймовірності маємо для усіх k:

$P(\mathrm{lim\; sup}{\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}{A}_n)\le P\left(\bigcup _{n=m}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\right)\le \sum _{n=m}^{\mathrm{\infty }}P\left(A_n\right)\to 0$.

Остання границя пояснюється тим, що сума залишкових членів збіжного ряду ряду прямує до нуля. З виведених нерівностей одержуємо твердження теореми.

Друга лема

Якщо всі події $\{A_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ сумісно незалежні, і ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\mathbb{P}\left(A_n\right)$ є розбіжним, то $\mathbb{P}(A)=1$.

Доведення

Достатньо довести, що для всіх k виконується:

$P\left(\bigcup _{n=k}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\right)=1$

Справді ймовірність перетину тоді теж буде рівною одиниці.

Отже зафіксуємо k і розглянемо часткове об'єднання до деякого m > k

Оскільки доповнення незалежних подій теж є незалежними, маємо

$P\left(\bigcap _{n=k}^m{A}_n^c\right)=\prod _{n=k}^{m}P(A_n^c)=\prod _{n=k}^m(1-P\left(A_n\right))$

Зважаючи, що $1-x\le e^{-x}$ маємо

$\prod _{n=k}^m(1-P\left(A_n\right))\le \prod _{n=k}^m{e}^{-P(A_n)}=\exp (-\sum _{n=k}^{m}P(A_n))$

Останній вираз згідно з припущенням леми прямує до нуля при $m\to \mathrm{\infty }$ тому:

$P\left(\bigcap _{n=k}^m{A}_n^c\right)\to 0$

Однак виконується

$P\left(\bigcap _{n=k}^m{A}_n^c\right)=P(\mathrm{\Omega }\setminus \bigcup _{n=k}^m{A}_n)=1-P\left(\bigcup _{n=k}^m{A}_n\right)$

звідки при $m\to \mathrm{\infty }$ отримаємо бажаний результат.

Джерела

• Шаблон:Карташов.Імовірність процеси статистика
• Шаблон:Гнеденко.Курс теории вероятностей
• Шаблон:Гіхман.Скороход.Ядренко
• Capinski, Marek, Kopp, Peter E. Measure, Integral and Probability. Springer Verlag 2004 ISBN 978-1-85233-781-0