Кутова відстань

Кутова відстань $\theta$ (також відома як видима відстань) — це кут між двома лініями огляду або між двома точковими об’єктами, якщо дивитися з боку спостерігача.

Кутова відстань з'являється в математиці (зокрема, геометрії та тригонометрії) та всіх природничих науках (наприклад , астрономії та геофізиці). У класичній механіці об'єктів, що обертаються, він з'являється поряд з кутовою швидкістю, кутовим прискоренням, кутовим моментом, моментом інерції та крутним моментом.

Використання

Термін кутова відстань (або поділ) є технічно синонімом самого кута, але має на увазі лінійну відстань між об’єктами (наприклад, пара зірок, спостережених із Землі).

Вимірювання

Оскільки кутова відстань (або поділ) концептуально ідентична куту, вона вимірюється в тих самих одиницях, таких як градуси або радіани, за допомогою таких інструментів, як гоніометри або оптичні інструменти, спеціально розроблені для вказівки в чітко визначених напрямках і запису відповідних кути (наприклад, телескопи).

Рівняння

Загальний випадок

Кутовий поділ $\theta$ між точками А і В, як видно з О

Щоб вивести рівняння, яке описує кутовий розрив двох точок, розташованих на поверхні сфери, якщо дивитися з центру сфери, ми використовуємо приклад двох астрономічних об’єктів $A$ і $B$ спостерігається із Землі. Об'єкти $A$ і $B$ визначаються їх небесними координатами, а саме їхніми прямими сходженнями (RA), $({\alpha }_A,{\alpha }_B)\in [0,2\pi ]$; і відмінювання (dec), $({\delta }_A,{\delta }_B)\in [-\pi /2,\pi /2]$. Дозволяти $O$ вказують спостерігача на Землі, який, як передбачається, знаходиться в центрі небесної сфери. Скалярний добуток векторів $𝐎𝐀$ і $𝐎𝐁$ дорівнює:

$𝐎𝐀\cdot 𝐎𝐁=R^2\cos \theta$

що еквівалентно:

${𝐧}_{𝐀}.{𝐧}_{𝐁}=\cos \theta$

В $(x,y,z)$ кадру, два унітарні вектори розкладаються на:

${𝐧}_{𝐀}=\left(\begin{array}{c}\cos {\delta }_A\cos {\alpha }_A\\ \cos {\delta }_A\sin {\alpha }_A\\ \sin {\delta }_A\end{array}\right)\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}{𝐧}_{𝐁}=\left(\begin{array}{c}\cos {\delta }_B\cos {\alpha }_B\\ \cos {\delta }_B\sin {\alpha }_B\\ \sin {\delta }_B\end{array}\right).$

тому

${𝐧}_{𝐀}{𝐧}_{𝐁}=\cos {\delta }_A\cos {\alpha }_A\cos {\delta }_B\cos {\alpha }_B+\cos {\delta }_A\sin {\alpha }_A\cos {\delta }_B\sin {\alpha }_B+\sin {\delta }_A\sin {\delta }_B\equiv \cos \theta$

потім:

$\theta ={\cos }^{-1}[\sin {\delta }_A\sin {\delta }_B+\cos {\delta }_A\cos {\delta }_B\cos ({\alpha }_A-{\alpha }_B)]$

Апроксимація малої кутової відстані

Наведений вище вираз справедливий для будь-якого положення A і B на сфері. В астрономії часто буває так, що розглядувані об'єкти знаходяться на небі дійсно близько: зірки в полі зору телескопа, подвійні зірки, супутники планет-гігантів Сонячної системи і т.д. У тому випадку, коли $\theta \ll 1$ радіан, маючи на увазі ${\alpha }_A-{\alpha }_B\ll 1$ і ${\delta }_A-{\delta }_B\ll 1$, ми можемо розвинути наведений вище вираз і спростити його. У наближенні малого кута, у другому порядку, наведений вище вираз стає:

$\cos \theta \approx 1-\frac{{\theta }^2}{2}\approx \sin {\delta }_A\sin {\delta }_B+\cos {\delta }_A\cos {\delta }_B[1-\frac{({\alpha }_A-{\alpha }_B{)}^2}{2}]$

значення

$1-\frac{{\theta }^2}{2}\approx \cos ({\delta }_A-{\delta }_B)-\cos {\delta }_A\cos {\delta }_B\frac{({\alpha }_A-{\alpha }_B{)}^2}{2}$

отже

$1-\frac{{\theta }^2}{2}\approx 1-\frac{({\delta }_A-{\delta }_B{)}^2}{2}-\cos {\delta }_A\cos {\delta }_B\frac{({\alpha }_A-{\alpha }_B{)}^2}{2}$ .

Враховуючи це ${\delta }_A-{\delta }_B\ll 1$ і ${\alpha }_A-{\alpha }_B\ll 1$, при розвитку другого порядку виходить так $\cos {\delta }_A\cos {\delta }_B\frac{({\alpha }_A-{\alpha }_B{)}^2}{2}\approx {\cos }^2{\delta }_A\frac{({\alpha }_A-{\alpha }_B{)}^2}{2}$, так що

$\theta \approx \sqrt{{[({\alpha }_A-{\alpha }_B)\cos {\delta }_A]}^2+({\delta }_A-{\delta }_B{)}^2}$

Мала кутова відстань: площинна апроксимація

Площинне наближення кутової відстані на небі

Якщо ми розглянемо детектор, який створює зображення невеликого поля неба (розмір набагато менше одного радіана) з $y$ -вісь спрямована вгору, паралельна меридіану прямого сходження $\alpha$, і $x$ -вісь по паралелі відмінювання b, кутове розділення можна записати так:

$\theta \approx \sqrt{\delta x^2+\delta y^2}$

де $\delta x=({\alpha }_A-{\alpha }_B)\cos {\delta }_A$ і $\delta y={\delta }_A-{\delta }_B$ .

Зверніть увагу, що $y$ -вісь дорівнює схиленню, тоді як $x$ -вісь - це пряме сходження, модульоване $\cos {\delta }_A$ оскільки переріз сфери радіусом $R$ за схиленням (широта) $\delta$ є $R^{\prime }=R\cos {\delta }_A$ (див. малюнок).

Див. також

• Мілірадіан
• Градіан
• Годинний кут
• Центральний кут
• Кут повороту
• Кутовий діаметр
• Відстань великого кола

Примітки

• КАСТОР, автор(и) невідомий. Сферична тригонометрія проти. векторний аналіз".