Кубічна інтерполяція

Кубічна інтерполяція — інтерполяція функції однієї змінної поліномом третього степеня.

Лінійна інтерполяція

Лінійна інтерполяція — це інтерполяція за допомогою двох найближчих значень. Значення $z(x)$ в точці $x$, можна отримати за допомогою рівняння:

$z(x)=(1-x)z_0+x{z}_1$

де $z_0,z_1$ — значення функції в початковій та кінцевій точці, відповідно.

Кубічна інтерполяція

Якщо задано $z_0,z_1,z_0^{\prime },z_1^{\prime }$ — значення функції та її похідної в початковій та кінцевій точці, то інтерполяція реалізується кубічними многочленами Ерміта.

Розглянемо варіант, коли значення похідної не доступне, а використовуються 2 додаткові точки регулярної сітки(по одній зліва та справа від інтервалу інтерполяції):

$z(x)=w_{-1}(x)z_{-1}+w_0(x)z_0+w_1(x)z_1+w_2(x)z_2$

де $w_{-1}(x),w_0(x),w_1(x),w_2(x)$ — поліноми третього степеня.

Інтерполяція Кея

$w_{-1}(x)=(-\frac{1}{2}+(1-\frac{x}{2})x)x$

$w_0(x)=1+(-\frac{5}{2}+\frac{3}{2}x)x^2$

$w_1(x)=(\frac{1}{2}+(2-\frac{3}{2}x)x)x$

$w_2(x)=(-\frac{1}{2}+\frac{x}{2})x^2$

Інтерполяція Шаума

$w_{-1}(x)=-\frac{1}{6}x(x-1)(x-2)$

$w_0(x)=\frac{1}{2}(x^2-1)(x-2)$

$w_1(x)=-\frac{1}{2}x(x+1)(x-2)$

$w_2(x)=\frac{1}{6}x(x^2-1)$