Лінійна інтерполяція

Для заданих двох червоних точок, синя лінія — лінійний інтерполянт між ними, і значення y в x можна знайти через лінійну інтерполяцію

Лінійна інтерполяція функції (сині прямі).

Лінійна інтерполяція — це інтерполяція функції f алгебраїчним двочленом P₁(x) = kx + c у точках x₀ та x₁, які належать відрізку [a, b].

Геометрична інтерпретація

З геометричної точки зору це означає заміну функції $f$ прямою,яка проходить через точки $(x_0,f(x_0))$ та $(x_1,f(x_1))$.

Рівняння такої прямої має вигляд:

$\frac{y-f(x_0)}{f(x_1)-f(x_0)}=\frac{x-x_0}{x_1-x_0}$

звідси для $x\in [x_0,x_1]$ маємо:

$f(x)\approx y=P_1(x)=f(x_0)+\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}(x-x_0)$

Це і є формула лінійної інтерполяції, причому

$f(x)=P_1(x)+R_1(x),$

де $R_1(x)$ — похибка формули, яка обчислюється за формулою:

$R_1(x)=\frac{f^{″}(\psi )}{2}(x-x_0)(x-x_1),\psi \in [x_0,x_1]$

Для неї є справедливою наступна оцінка:

$|R_1(x)|⩽\frac{M_2}{2}\max |(x-x_0)(x-x_1)|=\frac{M_2{h}^2}{8},M_2=\underset{[a,b]}{\max }|f^{″}(x)|,h=x_1-x_0.$

Див. також

• Білінійна інтерполяція

Джерела

• Бахвалов Н. С. Численные методы. — М: Лаборатория Базовых Знаний, 2007. — 636 с. — ISBN 978-5-94774-815-4. Шаблон:Ref-ru