Кривина Менгера

У математиці, кривиною Менгера трійки точок в n-мірному Евклідовому просторі Rⁿ є величина обернена радіусу кола, що проходить через ці три точки. Названа на честь Австрійсько-американського математика Карла Менгера.

Означення

Нехай х, у і z три точки в Rⁿ; для простоти припустимо, що всі три точки різні і не лежать на одній прямій. Нехай Π ⊆ Rⁿ евклідова площина, натягнута на х, y і z, і нехай C ⊆ Π єдине евклідове коло на Π, що проходить через х, у і z (в описане коло х, у і z). Нехай R радіус C. Тоді кривина Менгера c(х,,) точок х, y і z визначається за формулою

$c(x,y,z)=\frac{1}{R}.$

Якщо три точки лежать на одній прямій, то неформально можна вважати, що R дорівнює +∞, тоді за означенням c(x, y, z) = 0. Якщо якісь з точок х, у чи z збігаються, то означимо c(x, y, z) = 0.

Використовуючи відомі формули, що зв'язують між собою довжин сторін трикутника до його площі, отримаємо що

$c(x,y,z)=\frac{1}{R}=\frac{4A}{|x-y||y-z||z-x|},$

де А позначає площу трикутника, з вершинами в точках x, y і z.

Інший спосіб обчислення кривини Менгера:

$c(x,y,z)=\frac{2\sin \mathrm{\angle }xyz}{|x-z|}$

де $\mathrm{\angle }xyz$ — кут при вершині y трикутника з вершинами в точках x, y і z.

Також кривину Менгера можна обчислити в загальному метричному просторі. Якщо X - метричний простір і х, y і z різні точки, нехай f - ізометрія з $\{x,y,z\}$ в ${ℝ}^2$. Кривина Менгера цих точок

$c_X(x,y,z)=c(f(x),f(y),f(z)).$

Зверніть увагу, що f не мусить бути визначена на всьому X, тільки на {х, у, z}, а значення c_Х(x, у, z) не залежить від вибору f.

Доцільність інтегральної кривини

Кривина Менгера може бути використана щоб задати кількісні умови, коли множина в ${ℝ}^n$ може бути спрямна. Для міри Бореля $\mu$ на евклідовому просторі ${ℝ}^n$ визначити

$c^p(\mu )=\int \int \int c(x,y,z{)}^{p}d\mu (x)d\mu (y)d\mu (z).$

• Борелівська множина $E\subseteq {ℝ}^n$ спрямна, якщо $c^2(H^1{|}_E)<\mathrm{\infty }$, де $H^1{|}_E$ позначає  одновимірну Гаусдорфову міру, визначену на множині $E$.

Див. також

• Шаблон:Нп

Посилання

• Шаблон:Cite web

Примітки

• Шаблон:Cite journal