Конхоїда Нікомеда

Три конхоїди прямих з одним спільним центром (червона точка), для $\ell =a/2$ ― крива червоного кольору, для $\ell =a$ ― зеленого і для $\ell =2a$ ― синього

Конхоїда Нікомеда — конхоїда прямої, щодо точки, яка не лежить на ній. Є прикладом плоскої алгебричної кривої 4-го порядку.

Конхоїда Нікомеда має дві гілки, для яких пряма конхоїди є асимптотою.

Крива названа на честь давньогрецького математика Нікомеда, який застосовував її для трисекції кута і подвоєння куба.

Побудова

Побудова конхоїди Нікомеда

Приклади конхоїд Нікомеда

Нехай на площині вибрано пряму Шаблон:Mvar і точку Шаблон:Mvar, віддалену від прямої на відстань Шаблон:Mvar. Проведемо через точку Шаблон:Mvar промінь, що перетинає пряму Шаблон:Mvar у певній точці Шаблон:Mvar; точки Шаблон:Mvar₁ і Шаблон:Mvar₂, що лежать на промені Шаблон:Mvar і віддалені від точки Шаблон:Mvar на заздалегідь обрану відстань Шаблон:Mvar, будуть точками конхоїди. Змінюючи напрямок променя Шаблон:Mvar, можна побудувати всю конхоїду.

Рівняння

Декартові координати

Нехай вибрано систему координат так щоб точка Шаблон:Mvar була початком координат, а пряма Шаблон:Mvar задана рівнянням $x=a$ в декартових прямокутних координатах, як на рисунку справа. Нехай, як і на рисунку $l<a.$ Якщо координати точки Шаблон:Mvar₁ є рівними Шаблон:Mvar₁ і Шаблон:Mvar₁ , то $\frac{x_1-a}{l}=\frac{x_1}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}}=\cos \alpha$, де $\alpha$ є кутом між віссю абсцис і прямою Шаблон:MvarШаблон:Mvar₁ . Аналогічно, якщо координати точки Шаблон:Mvar₂ є рівними Шаблон:Mvar₂ і Шаблон:Mvar_{2 ,} то $\frac{a-x_2}{l}=\frac{x_2}{\sqrt{x_2^2+y_2^2}}=\cos \alpha .$

Зважаючи на довільність вибору точок можна одержати рівняння першої гілки конхоїди $(x-a)\sqrt{x^2+y^2}=lx$ і для другої гілки $(a-x)\sqrt{x^2+y^2}=lx$. Разом обидві гілки можна описати рівнянням ${\ell }^2{x}^2=(x^2+y^2)(x-a{)}^2.$

Окрім точок конхоїди цьому рівнянню задовольняє також точка Шаблон:Mvar (початок координат). Іноді у цьому випадку її вважають ізольованою точкою на конхоїді Нікомеда.

Якщо $l=a$ то ситуація фактично не змінюється крім того, що точка Шаблон:Mvar належить одній із гілок конхоїди. Теж саме рівняння описує конхоїду у цьому випадку і Шаблон:Mvar задовольняє рівнянню, тож її не потрібно виключати чи вважати особливою ізольованою точкою.

Натомість, якщо $l>a$, то існують точки на одній із гілок для яких абсциси є від'ємними. Для таких точок $\frac{a-x}{l}=\frac{-x}{\sqrt{x^2+y^2}},$ тому вони теж задовольняють загальному рівнянню.

Отож загалом для точки Шаблон:Mvar, яка є початком координат і прямої заданої рівнянням $x=a$ рівняння конхоїди є:

${\ell }^2{x}^2=(x^2+y^2)(x-a{)}^2$

Це рівняння можливе для всіх значень $a.$ Для $a=0$ одержується рівняння кола (яке часто вважається виродженим випадком конхоїди Нікомеда) і прямої $x=0.$

Полярні координати

Якщо, знову ж, точку Шаблон:Mvar вибрати, як початок координаті, то точки прямої $x=a>0$ можна задати рівнянням $r=\frac{a}{\cos \alpha }=a\sec \alpha ,$ де $-\pi /2<\alpha <\pi /2.$ У цій формулі $\alpha$ є кутом між віссю абсцис і прямою Шаблон:MvarШаблон:Mvar на рисунку. Звідси одержується рівняння у полярних координатах для однієї із гілок конхоїди: $r=\frac{a}{\cos \alpha }+l=a\sec \alpha +l,$ де $-\pi /2<\alpha <\pi /2.$ У випадку $l⩽a$ для іншої гілки рівняння буде: $r=\frac{a}{\cos \alpha }-l=a\sec \alpha -l,$ де $-\pi /2<\alpha <\pi /2.$

Проте, якщо $l>a$ це рівняння описує лише точки з невід'ємними абсцисами у прямокутній системі координат.

Загалом можна розглянути два кути між віссю абсцис і прямою Шаблон:MvarШаблон:Mvar, а саме кут $\alpha$ для якого $-\pi /2<\alpha <\pi /2$ і кут $\beta =\alpha +\pi$ для якого $\pi /2<\beta <3\pi /2$. Якщо для деякого кута $-\pi /2<\alpha <\pi /2$ виконується нерівність $a\sec \alpha -l⩾0$ то точка із координатами $r=a\sec \alpha -l,\phi =\alpha$ належить конхоїді. Якщо ж $a\sec \alpha -l<0$ то конхоїді належить точка із полярними координатами $r=l-a\sec \alpha ,\phi =\alpha +\pi$ або по іншому $r=l+a\sec \beta ,\phi =\beta .$

При полярних координатах часто, якщо у рівнянні $r=r(\phi )$ виконується $r({\phi }_1)<0$ тоді дане рівняння задає точку $r=-r({\phi }_1),\phi ={\phi }_1+\pi .$ Тоді усю другу гілку конхоїди можна задати рівнянням $r=l+a\sec \beta ,$ де $\pi /2<\beta <3\pi /2$. З урахуванням цього у полярних координатах усе рівняння можна задати як:

$r=\frac{a}{\cos \alpha }+l=a\sec \alpha +l,$ де $\alpha \ne \pi /2+n\pi .$

Параметричне рівняння

Будь-яку точку на прямій $x=a$ можна задати координатами $(a,t)$, де $-\mathrm{\infty }<t<\mathrm{\infty }.$ Одиничний вектор $\overrightarrow{k}$ у напрямку прямої між точками Шаблон:Mvar і Шаблон:Mvar із координатами $(a,t)$ має координати $(\frac{a}{\sqrt{a^2+t^2}},\frac{t}{\sqrt{a^2+t^2}})$ і відповідно точки на прямій на відстані Шаблон:Mvar від точки Шаблон:Mvar мають координати $N\pm l\overrightarrow{k}$.

Звідси одержується параметричне рівняння:

$x(t)=a\pm \frac{la}{\sqrt{a^2+t^2}},$

$y(t)=t\pm \frac{lt}{\sqrt{a^2+t^2}}.$

У цьому рівнянні $-\mathrm{\infty }<t<\mathrm{\infty }$ і вибір конкретного знаку дає вибір певної гілки конхоїди.

Властивості

• Конхоїда Нікомеда є прикладом алгебричної кривої 4-го порядку. Її проективна версія (яка задається однорідним рівнянням ${\ell }^2{x}^2{z}^2=(x^2+y^2)(x-az{)}^2$) має також додаткову «точку в нескінченності» $[0:1:0]$.
• Конхоїда Нікомеда має дві гілки, для яких пряма конхоїди є асимптотою.
• Для $l⩾a$ точка Шаблон:Mvar на лежить одній гілок конхоїди. Для $l<a$ ця точка не належить конхоїді але задовольняє загальному рівнянню. Тому часто також її розглядають як особливу точку кривої. Тоді для конхоїди Нікомеда ця точка:
  • при $\ell <a$ ― ізольована точка
  • при $\ell >a$ ― вузлова точка
  • при $\ell =a$ ― точка повернення
• Одна із гілок конхоїди Нікомеда є завжди гладкою. Для $l<a$ друга гілка і відповідно вся крива є гладкою (якщо не розглядати початок координат як окрему точку). Для $l⩾a$ друга гілка є гладкою всюди крім початку координат.
• Для $l>a$ одна із гілок конхоїди має «петлю». У параметризації у полярних координатах ця петля задається як $r=a\sec \alpha -l,$ де ${\sec }^{-1}(-l/a)<\alpha <2\pi -{\sec }^{-1}(-l/a).$
• Нехай $0⩽{\alpha }_1<{\alpha }_2<\pi /2$ — кути, такі, що з двох точок перетину конхоїди із прямою визначеною кутом ${\alpha }_1$ (не враховуючи перетину на початку координат) жодна із точок не лежить на «петлі». Зокрема $l⩽a$ можна взяти будь-які кути, що задовольняють нерівності. Тоді площа фігури обмежена променями із кутами ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ і двома гілками конхоїди Нікомеда є рівна:

$S=\frac{1}{2}\underset{{\alpha }_1}{\overset{{\alpha }_2}{\int }}{(\frac{a}{\cos \phi }+l)}^2-{(\frac{a}{\cos \phi }-l)}^{2}d\phi =2al\underset{{\alpha }_1}{\overset{{\alpha }_2}{\int }}\frac{d\phi }{\cos \phi }=2al\underset{{\alpha }_1+\pi /2}{\overset{{\alpha }_2+\pi /2}{\int }}\frac{d\phi }{\sin \phi }=2al[\ln \tan \left(\frac{{\alpha }_2+\pi /2}{2}\right)-\ln \tan \left(\frac{{\alpha }_1+\pi /2}{2}\right)]$

Зокрема при прямуванні ${\alpha }_2$ до $\pi /2$ ця площа прямує до нескінченності. Відповідно площа фігури між двома гілками конхоїди є рівною нескінченності. Також нескінченності є рівною і площа між будь-якою гілкою і визначальною прямою $x=a$ оскільки для великих $y$ дві гілки є майже симетричними щодо цієї прямої.

• Для $l>a$ площа петлі є рівною:

$a\sqrt{l^2-a^2}-2al\ln \left(\frac{l+\sqrt{l^2-a^2}}{a}\right)+l^2\arccos (a/l)$

Нормалі та дотичні

Нормаль і дотична у заданій точці конхоїди можуть бути побудовані досить просто зважаючи на властивості полярних піднормалей кривої. Полярною піднормаллю у точці Шаблон:Mvar називається відрізок, що одержується внаслідок перетину нормальної прямої до кривої у точці Шаблон:Mvar і прямої, що проходить через початок координат Шаблон:Mvar і є перпендикулярною до прямої Шаблон:MvarШаблон:Mvar. Якщо крива задана рівнянням $r=r(\phi )$ у полярних координатах то довжина цього відрізку і його напрям визначається як $r^{\prime }(\phi )$. Оскільки у полярних координатах конхоїда описується як $r=a\sec \phi +l,$ а асимптотична пряма для конхоїди: $r=a\sec \phi ,$ то їх похідні $r^{\prime }(\phi )$ у точках на одному промені є рівними. Відповідно і полярні піднормалі є однаковими. Але полярні піднормалі для прямих побудувати просто.

Це дає покроковий алгоритм для побудови нормалі і дотичної до конхоїди у точці. Нехай дана конхоїда на рисунку вище і потрібно побудувати нормаль і дотичну у точці Шаблон:Mvar_1. Тоді

1. Потрібно провести пряму Шаблон:MvarШаблон:Mvar₁ і визначити точку Шаблон:Mvar на асимптотичній прямій, як точку перетину цієї прямої і пряму Шаблон:MvarШаблон:Mvar₁.
2. Побудувати пряму, що проходить через точку Шаблон:Mvar і є перпендикулярною до прямої Шаблон:MvarШаблон:Mvar₁.
3. Побудувати пряму, що проходить через точку Шаблон:Mvar і є перпендикулярною до асимптотичної прямої.
4. Визначити точку перетину Шаблон:Mvar прямих із двох попередніх пунктів і провести пряму Шаблон:MvarШаблон:Mvar₁. Ця пряма буде нормальною до конхоїди у точці Шаблон:Mvar₁.
5. Побудувати пряму перпендикулярну до прямої Шаблон:MvarШаблон:Mvar₁ у точці Шаблон:Mvar₁. Ця пряма буде дотичною до конхоїди у точці Шаблон:Mvar₁.

Альтернативний спосіб побудови

Побудова нормалі до конхоїди Нікомеда

Інший спосіб побудови нормалі для однієї із гілок конхоїди використовував Декарт, як приклад свого більш загального способу побудови нормалей і дотичних до кривих.

Процес побудови показаний на рисунку справа. Тут пряма на основі якої будується конхоїда є горизонтальною, а полюсом є точка Шаблон:Mvar Тоді кроками побудови нормалі у деякій точці Шаблон:Mvar є:

1. Побудова прямої Шаблон:Mvar і визначення точки перетину цієї прямої із асимптотичною прямою (точка Шаблон:Mvar).
2. Побудова прямої, що проходить через точку Шаблон:Mvar і є перпендикулярною до асимптотичної прямої (і перетинає її у точці Шаблон:Mvar).
3. Відкладення відрізка Шаблон:Mvar довжина якого є рівною довжині відрізка Шаблон:Mvar.
4. Побудова прямої , що проходить через точку Шаблон:Mvar і є перпендикулярною до асимптотичної прямої.
5. Відкладення на попередній прямій відрізка Шаблон:Mvar довжина якого є рівною довжині відрізка Шаблон:Mvar Пряма Шаблон:Mvar тоді буде нормальною до конхоїди у точці Шаблон:Mvar.

Доведення того, що точка Шаблон:Mvar лежить на нормалі до конхоїди у точці Шаблон:Mvar, згідно першого означення може буди вправою на застосування алгебричних методів у геометрії. Для цього можна використати, наприклад, параметричне рівняння конхоїди. Далі щоб викладення узгоджувалося з рисунком координати параметричного рівняння будуть поміняні місцями порівняно з попереднім.

Тоді точки на рисунку мають координати: $A=(0,0),E=(t,a),C=(t+\frac{lt}{\sqrt{a^2+t^2}},a+\frac{la}{\sqrt{a^2+t^2}}).$ Окрім того нехай Шаблон:Mvar позначає точку перетину прямої перпендикулярної асимптотичної прямої, що проходить через Шаблон:Mvar і прямої перпендикулярної до Шаблон:Mvar, що проходить через Шаблон:Mvar Згідно першого означення пряма Шаблон:Mvar буде нормальною до конхоїди у точці Шаблон:Mvar. Для того щоб точка Шаблон:Mvar лежала на цій прямій і, відповідно, сама визначала нормаль необхідно і достатньо щоб вектори $\overrightarrow{CG}$ і $\overrightarrow{CP}$ були паралельними.

Для визначення координат цих векторів спершу треба визначити координати точки Шаблон:Mvar. Вона є перетином прямої $x=t$ і прямої, що проходить через початок координат і є перпендикулярною до прямої Шаблон:Mvar. Оскільки вектор $(t,a)$ є напрямним для прямої Шаблон:Mvar, то вектор вектор $(-a,t)$ є напрямним до перпендикулярної і її можна записати параметрично: $x=-as,y=ts.$ Тому для точки Шаблон:Mvar виконується рівність $t=-as,$ звідки $s=-t/a$ і тому $P=(t,-\frac{-t^2}{a})$. Звідси можна знайти координати одного із необхідних векторів:

$\overrightarrow{CP}=(t-t-\frac{lt}{\sqrt{a^2+t^2}},-\frac{-t^2}{a}-a-\frac{la}{\sqrt{a^2+t^2}})=(-\frac{lt}{\sqrt{a^2+t^2}},-\frac{a^2+t^2}{a}-\frac{la}{\sqrt{a^2+t^2}}).$

Вектор $\overrightarrow{CG}$ є сумою векторів $\overrightarrow{CF}$ і $\overrightarrow{FG}.$ Вектор $\overrightarrow{FG}$ є паралельним осі ординат, направлений у від'ємному напрямку і, за означенням його довжина є рівною довжині відрізка Шаблон:Mvar Тому $\overrightarrow{FG}=(0,-\sqrt{a^2+t^2}).$ Вектор $\overrightarrow{CF}$ направлений паралельно прямої Шаблон:Mvar і протилежно до одиничного напрямного вектору $\overrightarrow{a}=(\frac{t}{\sqrt{a^2+t^2}},\frac{a}{\sqrt{a^2+t^2}}).$ Його довжина за означення є рівною довжині відрізка Шаблон:Mvar, тобто $\frac{la}{\sqrt{a^2+t^2}}.$ Тому $\overrightarrow{CF}=\frac{-la}{\sqrt{a^2+t^2}}(\frac{t}{\sqrt{a^2+t^2}},\frac{a}{\sqrt{a^2+t^2}})=(\frac{-lat}{a^2+t^2},\frac{-l{a}^2}{a^2+t^2}).$ Остаточно:

$\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{CF}+\overrightarrow{FG}=(\frac{-lat}{a^2+t^2},\frac{-l{a}^2}{a^2+t^2}-\sqrt{a^2+t^2}).$

Загалом $\overrightarrow{CG}=\frac{a}{\sqrt{a^2+t^2}}\overrightarrow{CP}$, тож два вектори дійсно є паралельними.

Трисекція кутів

Трисекція кута AÔB

Конхоїду Нікомеда можна використати для розв’язання задачі трисекції кутів. Нехай AÔB — довільний кут. З будь-якої точки $L$ на стороні $OB$ проводиться перпендикуляр $LD$ до сторони $OA$, і для прямої $LD$ відносно полюса $O$ з константою $k=2OL$ будується конхоїда. Пряма, що є паралельною $OA$ і проходить через точку $L$, перетинає зовнішню гілку конхоїди у точці $C$. Якщо провести пряму через точки $C$ і $O$, то:

AÔC = $\frac{1}{3}$ AÔB

Недоліком цієї процедури є те, що вона вимагає окремої конхоїди, спеціалізованої для кожного кута, який потрібно розділити на три частини Це не так для деяких інших трисектрис (як, наприклад, трисектор Маклорена), які дозволяють будь-який кут розділити на три тією самою кривою.

Доведення

Нехай $N$ — точка перетину $OC$ з $LD$, а $M$ — середина $CN$. Згідно означення конхоїди:

$CN=k=2OL$

і тому

$CM=MN=OL=\frac{k}{2}.$

З іншого боку, $NLC$ є прямим кутом, а $LM$ — медіаною прямокутного трикутника $CLN$ основою якої є гіпотенуза $CN$, Тому довжина $LM$ є рівною половині довжини гіпотенузи, тобто

LM = NM = OL.

З цього випливає, що трикутники $LOM$, $LMC$ і $LMN$ є рівнобедреними, а тому:

LÔM = NML = 2 LĈM

Але LCM = COA, оскільки прямі $OA$ і $LC$ є паралельними, тому LÔM = 2 CÔA або також

BÔA = LÔA = 3 CÔA

Подвоєння куба

Подвоєння куба за допомогою конхоїди Нікомеда

Задача подвоєння куба фактично полягає у побудові відрізка довжиною $L\sqrt[3]{2}$ для заданого відрізка довжиною $L.$

Позначивши $2a=L,$ алгоритм подвоєння куба з використанням конхоїди Нікомеда можна описати за допомогою послідовних кроків, зображених на рисунку праворуч:

1. Побудова прямокутника $ABCD$ для заданого відрізка $AB$ довжиною $2a,$ де довжина сторони $AD$ є рівною $2b$ і $b=2a$; тобто інша сторона прямокутника є вдвічі довшою ніж початкова.
2. Побудова точки $E,$ що ділить сторону $AD$ навпіл.
3. Побудова прямої лінії через точки $C;$ і $E,$, визначення точки $F$ на перетині цієї прямої із прямою, що містить сторону $AB.$ Довжина відрізка $FA$ є рівною довжині відрізка $AB.$
4. Побудова точки $G,$ що ділить сторону $AB$ навпіл.
5. Побудова прямої перпендикулярної до $AB,$ що проходить через точку $G.$
6. Побудова кола, з центром у точці $B,$ що проходить через точку $A$ ( його радіус буде рівним $b=2a$. Нехай $H,$ є перетином цього кола із перпендикуляром із попереднього пункту.
7. Побудова прямої $I$, що проходить через $B$і є паралельною до прямої $HF.$
8. Побудова конхоїди Нікомеда із полюсом $H$, прямою $I$ і відстанню $b$. Нехай $K$ позначає перетих кривої із прямою $AB.$
9. Побудова точки $L$, як точки перетину прямих $CK$ і $AD.$ Довжина $DL$ тоді і буде рівною $2a\sqrt[3]{2}.$

Доведення

Позначимо $BK=x$ і $DL=y$. Тоді $HG=\sqrt{b^2-a^2}$ і $GK=a+x$ і, з теореми Піфагора:

$HK=\sqrt{H{G}^2+G{K}^2}=\sqrt{b^2-a^2+{(a+x)}^2}=\sqrt{b^2+2ax+x^2}.$

З подібності трикутників $BMK,FHK$ випливає, що $FK:BK=HK:MK,$ і оскільки $MK=b$ і $FK=4a+x,$ то з попередніх пропорцій випливає, що:

$\frac{4a+x}{x}=\frac{\sqrt{b^2+2ax+x^2}}{b}.$

Після піднесення до квадрату

$\frac{16a^2+8ax+x^2}{x^2}=\frac{b^2+2ax+x^2}{b^2},$

або $16a^2{b}^2+8a{b}^{2}x+b^2{x}^2=b^2{x}^2+x^4+2a{x}^3.$

Попередня рівність еквівалентна $x^4+2a{x}^3-8a{b}^{2}x-16a^2{b}^2=0$ або після спрощення $(x^3-8a{b}^2)(x+2a)=0.$

Оскільки $x+2a$ не є рівним нулю, то $x^3-8a{b}^2=0$ тобто $x^3=2a{\left(2b\right)}^2.$

З подібності трикутників $LDC,CBK$ ми маємо, що $2a:y=x:2b$ і, отже, $xy=4ab$ або по іншому $y=\frac{4ab}{x}.$ Після піднесення до кубу $y^3=\frac{4^3{a}^3{b}^3}{x^3}$ і з використанням рівності $x^3=2a{\left(2b\right)}^2$ випливає що $y^3=\frac{4^3{a}^3{b}^3}{2^{3}a{b}^2}$ або спрощуючи $y^3=2b{\left(2a\right)}^2.$

Враховуючи, що $b=2a$ то також

$y^3=2b^3$

Остаточно

$y=b\sqrt[3]{2}$

тобто довжина $DL$ буде рівною $b\sqrt[3]{2}=2a\sqrt[3]{2}.$

Див. також

• Конхоїда
• Подвоєння куба
• Трисекція кута

Посилання

• Шаблон:MathWorld
• Conchoid of Nicomedes. Опис на проекті 3D-XploreMath

Література

• Шаблон:Cite book