Конформна група

Конформна група простору — це група перетворень простору в себе зі збереженням кутів. Формальніше, це група перетворень, що зберігає конформну геометрію простору.

Деякі конкретні конформні групи особливо важливі:

• Конформна ортогональна група. Якщо V — векторний простір з квадратичною формоюа Q, то конформна ортогональна група $\mathrm{C}\mathrm{O}(V,Q)$ є групою лінійних перетворень T простору V, таких що для кожного x із V існує скаляр $\lambda$, такий що

  $Q(Tx)={\lambda }^{2}Q(x)$

  Для знаковизначеної квадратичної форми (тобто або додатно визначеної, або від'ємно визначеної) конформна ортогональна група дорівнює ортогональній групі, помноженій на групу розтягів.

• Конформна група сфери, породжена інверсіями відносно кіл. Ця група відома також як група Мебіуса.
• У евклідовому просторі ${𝐄}^n$, Шаблон:Nobr, конформна група породжується інверсіями відносно гіперсфер.
• У псевдоевклідовому просторі ${𝐄}^{p,q}$ конформною групою є $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{f}(p,q)\simeq \mathrm{O}(p+1,q+1)/{\mathbb{Z}}_2$Шаблон:Sfn.

Всі конформні групи є групами Лі.

Аналіз кутів

У евклідовій геометрії можна очікувати, що характеристикою буде стандартний кут, але в псевдоевклідовому просторі існує також Шаблон:Не перекладено. У спеціальній теорії відносності різні точки відліку зміни швидкості відносно інших точок відліку, пов'язані з бистротою, гіперболічним кутом. Один зі способів описати лоренців буст — Шаблон:Не перекладено, яке зберігає різницю кутів між швидкостями. Таким чином, вони є конформними перетвореннями відносно гіперболічних кутів.

Один з підходів до опису відповідної конформної групи — імітація групи Мебіуса як конформної групи звичайної комплексної площини. Псевдоевклідова геометрія відповідає альтернативним комплексними площинами, де, замість звичайних комплексних чисел, точками є спліт-комплексні числа або подвійні числа. Як для повного опису групи Мебіуса потрібна сфера Рімана, компактний простір, так само альтернативні комплексні площини вимагають для повного опису компактифікації конформного відображення. У кожному з випадків конформна група задається дробово-лінійними перетвореннями на відповідній площиніШаблон:Sfn.

Конформна група простору-часу

1908 року Шаблон:Нп і Ебенезер Кеннінгем, двоє молодих дослідників із Ліверпульського університету, оголосили ідею конформної групи простору-часуШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn (тепер зазвичай позначається як $C(1,3)$)Шаблон:Sfn. Вони стверджували, що кінематичні групи конформні, оскільки вони зберігають квадратичну форму простору-часу і тим самим споріднені ортогональними перетвореннями, що розглядається як Шаблон:Не перекладено. Свободи електромагнітного поля не поширюються на кінематичні рухи, а вимагають тільки бути локально пропорційними перетворенням, які зберігають квадратичну форму. У статті 1910 року Гаррі Бейтмен вивчає матрицю Якобі перетворення, яке зберігає світловий конус, і показує, що перетворення має властивість конформностіШаблон:Sfn. Бейтмен і Кеннінгем показали, що ця конформна група є «найбільшою групою перетворень, які залишають рівняння Максвелла структурно інваріантними»Шаблон:Sfn.

Ісаак Яглом зробив внесок у математику простору-часу, розглянувши конформні перетворення в подвійних числахШаблон:Sfn. Оскільки подвійні числа мають властивості кільця, але не поля, дробово-лінійні перетворення вимагають від Шаблон:Не перекладено бути бієктивним відображенням.

Традиційно, як у статті Шаблон:Нп (1914), для подання групи Лоренца використовується кільце бікватерніонів. Для конформної групи простору-часу достатньо розглядати дробово-лінійні перетворення на проєктивній прямій над цим кільцем. Елементи конформної групи простору-часу Бейтменом назвав Шаблон:Не перекладено. Конкретне вивчення квадратичної форми простору-часу увібрала в себе Шаблон:Не перекладено.

Література

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга Перше видання 1974
• Шаблон:Книга

Література для подальшого читання

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Стаття