Конгруентні матриці
Квадратні матриці називаються конгруентними, якщо існує невироджена матриця , що виконується :
- Відношення конгруентності матриць є відношенням еквівалентності.
Конгруентні матриці виникають під час зміни базису білінійної форми чи квадратичної форми. Дві матриці є конгруентними тоді і тільки тоді, коли вони описують одну і ту ж білінійну форму в різних базисах.
Перехід від одного базису до іншого задається матрицею переходу
Закон інерції Сильвестра
Щоб спростити задання білінійної форми, шукають базис в якому її матриця є діагональною.
Довільна дійсна симетрична матриця є конгруентною до деякої діагональної матриці, при чому, можна обмежитись тільки ортогональними перетвореннями
І діагональна матриця буде складатись з власних значень матриці (див. Подібні матриці).
Якщо ж не обмежуватись тільки ортогональними перетвореннями, то можна добитись, що на діагоналі будуть тільки числа -1, 0, +1.
Закон інерції Сильвестра стверджує, що дві дійсні симетричні матриці конгруентні тоді і тільки тоді, коли в них однакова кількість додатних, від'ємних і нульових власних значень.