Компактно породжений простір

У топології гаусдорфів топологічний простір називається компактно породженим (також Шаблон:Math- простором) якщо у ньому множина є замкнутою, тоді і тільки тоді коли її перетин із кожною компактною підмножиною цього простору є замкнутою підмножиною. Означення для негаусдорфових просторів загалом можуть відрізнятися у літературі і терміни компактно породжений простір і k-можуть використовуватися для деяких різних просторів.

Категорія компактно породжених просторів активно використовується у випадках коли властивості звичайної категорії топологічних просторів не є задовільними для конкретної ситуації. Зокрема категорія топологічних просторів не є декартово замкнутою, добуток відображень на фактор-простори може не бути відображенням на фактор-простір, а добуток CW-комплексів може не бути CW-комплексом.

Означення

Існують кілька різних загалом нееквівалентних означень компактно породжених просторів. Тут наведено найпоширеніші.

Означення 1

Топологічний простір $X$ називають компактно породженим простором, якщо його топологія узгоджується з сім'єю всіх його компактних підпросторів, тобто якщо в ньому для усіх підмножин $A\subset X$ виконуються еквівалентні умови:

• Множина $A$ є замкнутою в $X$ тоді і тільки тоді, коли будь-який її перетин $A\cap K$ із довільною компактною множиною $K\subset X$ є замкнутим у $K$.
• Множина $A$ є відкритою в $X$ тоді і тільки тоді, коли будь-який її перетин $A\cap K$ із довільною компактною множиною $K\subset X$ є відкритим у $K$.
• Множина $A$ є відкритою (замкнутою) в $X$ тоді і тільки тоді, коли для будь-якого компактного простору $K$ і довільного неперервного відображення $f:K\to X$ прообраз $f^{-1}(A)$ є відкритим (замкнутим) у $K$.

Із цим означенням очевидно, що компактний простір $X$ є компактно породженим адже множина $A$ є рівною $A\cap X$ і оскільки її перетин з усіма компактними підмножинами є замкнутим у цих підмножинах, то і $A=A\cap X$ є замкнутою підмножиною $A$.

Часто під компактно породженим простором розуміють тільки гаусдорфові простори, що задовольняють вказані умови.

Для гаусдорфових просторів можна дати ще одне еквівалентне означення компактно породженого простору: гаусдорфів простір $X$ є компактно породженим простором, в тому і тільки в тому випадку, якщо він є гомеоморфним фактор-простору деякого локально компактного гаусдорфового простору.

Означення 2

Іншим популярним варіантом означення є:

• Множина $A$ є відкритою (замкнутою) в $X$ тоді і тільки тоді, коли для будь-якого гаусдорфового компактного простору $K$ і довільного неперервного відображення $f:K\to X$ прообраз $f^{-1}(A)$ є відкритим (замкнутим) у $K$.

Від попереднього означення цей варіант відрізняється вимогою гаусдорфовості компактних просторів $K$.

Приклад нееквівалентності означень

Для гаусдорфових просторів два означення є еквівалентними. У загальному випадку простір, що задовольняє друге означення також задовольняє перше. Справді якщо для другого означення $f^{-1}(A)$ є замкнутою підмножиною для всіх гаусдорфових компактних просторів $K$ і довільних неперервних відображень $f:K\to X$ то $A$ є замкнутою і прообраз $f^{-1}(A)$ є замкнутим для відображень із усіх просторів, зокрема усіх компактних просторів, тобто задовольняються умови першого означення.

Натомість компактний негаусдорфовий простір ${\mathbb{Q}}^{*}\times {\mathbb{Q}}^{*}$ (добуток одноточкових компактифікацій простору раціональних чисел із топологією індукованою стандартною топологією дійсних чисел) є компактним, а тому задовольняє перше означення але не друге.

Дійсно, як показано у статтях Слабкий гаусдорфів простір і Одноточкова компактифікація цей простір є слабким гаусдорфовим але не є KC-простором (тобто простором у якому всі компактні підмножини є замкнутими). Але у слабкому гаусдорфовому просторі кожна компактна підмножина $C$ є $k$-замкнутою, тобто для будь-якого гаусдорфового компактного простору $K$ і довільного неперервного відображення $f:K\to X$ її прообраз $f^{-1}(C)$ є замкнутою множиною.

Справді нехай $K$ є компактним гаусдорфовим простором і $f:K\to X$ — неперервним відображенням. Оскільки $X$ є слабким гаусдорфовим, то множина $f(K)$ є замкненою у $X$. Множина $f(K)\cap C$ є компактною як замкнута підмножина компактної множини $C$. Із властивостей слабких гаусдорфових просторів також випливає, що $f(K)$ є гаусдорфовим підпростором. Тому $f(K)\cap C$ також є замкненою підмножиною в $f(K)$, а тому також у $X$. Оскільки $f$ є неперервним відображенням то $f^{-1}(C)=C^{-1}(C\cap f(K))$ є замкнутою підмножиною у $K$.

Наприклад діагональ простору ${\mathbb{Q}}^{*}\times {\mathbb{Q}}^{*}$ не є замкнутою але вона є компактною і тому її прообраз при будь-якому неперервному відображенні із гаусдорфового компактного простору $K$ є замкнутою підмножиною у $K$. Звідси випливає також, що компактні простори можуть не бути компактно породженими у другому означенні.

Компактно породжене поповнення топології

Для довільного топологічного простору X можна ввести топологію на X, яка є компактно породженою і містить початкову топологію. Нехай {K_α} позначає сім'ю компактних підмножин у X. У новій топології на X підмножина A буде замкненою якщо і тільки якщо A ∩ K_α є замкненою у K_α для всіх α. Нехай простір із новою топологією позначається X_c. Тоді компактними підмножинами у X_c є компактні підмножини із X і успадковані топології на всіх компактних підмножинах для двох топологій є однаковими. Зокрема X_c є компактно породженим простором (для першого означення). Якщо сам простір X є компактно породженим то X_c = X, в іншому випадку топологія X_c є строго більшою, ніж X.

Аналогічно можна ввести поповнення топології X_hc для якого підмножина A буде замкнутою якщо і тільки якщо для будь-якого гаусдорфового компактного простору $K$ і довільного неперервного відображення $f:K\to X$ прообраз $f^{-1}(A)$ є замкнутим у $K$. Знову ж компактними підмножинами у X_hc є компактні підмножини із X і успадковані топології на всіх компактних підмножинах для двох топологій є однаковими. Зокрема X_hc є компактно породженим простором (для другого означення). Якщо сам простір X є компактно породженим то X_hc = X, в іншому випадку топологія X_hc є строго більшою, ніж X.

Загалом топологія X_hc може бути більшою за топологію X_c, для гаусдорфових просторів вони є однаковими.

Відображення у компактно породжених просторах

• Відображення $f:X\to Y$ компактно породженого простору $X$ у довільний топологічний простір $Y$ є неперервним в тому і тільки в тому випадку, якщо будь-яке звуження цього відображення $f{|}_K$ на довільну компактну множину $K$ є неперервним.

• Неперервне відображення $f:X\to Y$ довільного топологічного простір $X$ у компактно породжений простір $Y$ є замкнутим (відкритим, відображенням на фактор-простір) в тому і тільки в тому випадку, якщо для кожної компактної підмножини $K$ з області значень $Y$ звуження цього відображення $f_K:f^{-1}(K)\to K$ є замкнутим (відповідно відкритим, відображенням на фактор-простір).

• Якщо відображення $f_1:X_1\to Y_1$ і $f_2:X_2\to Y_2$ є відображеннями на фактор-простір і $X_1$ і $X_2$, а також добуток просторів $Y_1\times Y_2$ є компактно породженими просторами, то декартовій добуток цих відображень $f_1\times f_2:X_1\times X_2\to Y_1\times Y_2$ є відображеннями на фактор-простір.
• Якщо $f:X\to Y$ є неперервним відображенням між топологічними просторами, то відображення $f:X_c\to Y_c$ і $f:X_{hc}\to Y_{hc}$ між тими ж просторами із відповідними компактно породженими топологіями, теж будуть неперервними.

Стабільність при операціях

Кожен відкритий чи замкнути підпростір гаусдорфового компактно породженого простору є компактно породженим простором. Однак довільний підпростір гаусдорфового компактно породженого простору може не бути компактно породженим простором.

Сума сім'ї топологічних просторів є компактно породженим простором тоді і тільки тоді, коли всі простори із цієї сім'ї є компактно породженими просторами.

Добуток гаусдорфового компактно породженого простору і локально компактного гаусдорфового простору є компактно породженим простором. При цьому добуток двох компактно породжених просторів у загальному випадку не є компактно породженим простором. Тому у категорії компактно породжених просторів добуток просторів вводять як (X × Y)_c.

Гаусдорфів образ гаусдорфового компактно породженого простору при відображенні на фактор-простір (зокрема, при відкритому або замкнутому відображенні) є компактно породженим простором. При цьому образ гаусдорфового компактно породженого простору при довільному неперервному відображенні може не бути компактно породженим простором, навіть якщо він є цілком нормальним.

Зв'язок з іншими класами просторів

Будь-який повний зі Чехом простір (зокрема будь-який локально компактний гаусдорфів простір, а отже і будь-який топологічний многовид) є компактно породженими просторами.

Кожен секвенційний простір (зокрема будь-який простір з першою аксіомою зліченності, а отже і будь-який метричний простір) є компактно породженими просторами.

Будь-який простір точково зліченного типу є компактно породженим простором.

Кожен CW-комплекс є компактно породженим простором.

Література

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга